Относительная частота

Пусть событие $A$ имеет вероятность $p$, $0 < p < 1$. Повторим опыт $n$ раз; если $A$ произошло $m$ раз, число $\dfrac mn$ — относительная частота события $A$.

Замечательный факт: при больших $n$ частота группируется возле $p$: $\dfrac mn \approx p$. На рисунке — три серии бросаний монеты: в начале частоты скачут, к $2000$ бросаниям все три близки к $0{,}5$.

Статистическая устойчивость: при большом количестве опытов относительная частота события, как правило, мало отличается от его вероятности; чем больше опытов, тем реже значительные отклонения.

Не всегда вероятность можно найти априори (лат. a priori — независимо от опыта), как для монеты или кубика: брак на заводе, рождение мальчика, поломка прибора.

Если опыт можно повторить много раз, частоту принимают за приближённое значение вероятности — это статистическое определение вероятности. Определение из § 12 называют классическим.

Вероятность можно задать перечислением её свойств. Пусть $M$ — множество всех событий опыта с конечным числом исходов. Вероятность — функция $P(A)$ на $M$ со свойствами:

• 1) $0 \le P(A) \le 1$ для любого $A$ из $M$;
• 2) $P(A) = 1$, если $A$ — достоверное событие;
• 3) $P(A + B) = P(A) + P(B)$, если $A$ и $B$ несовместны.
• Это аксиомы Колмогорова: А. Н. Колмогоров в $1933$ г. впервые построил теорию вероятностей аксиоматически. Для опытов с бесконечным числом исходов свойство 3 понимают для бесконечных сумм: $P(A_1 + A_2 + \ldots) = P(A_1) + P(A_2) + \ldots$ — это общая теория вероятностей, а для конечных — элементарная.

• $P(\bar A) = 1 - P(A)$: $A$ и $\bar A$ несовместны, $A + \bar A$ — достоверное событие, по аксиомам 2 и 3 $P(A) + P(\bar A) = 1$.
• $P(\varnothing) = 0$: $\varnothing$ противоположно достоверному.
• Если $A$ влечёт $B$ (каждый раз, когда происходит $A$, происходит и $B$), то $P(A) \le P(B)$: $B = A + (B \setminus A)$, а $P(B \setminus A) \ge 0$.
• Формула $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$ выводится из аксиомы 3 так же, как в п. 12.2. Все свойства классической вероятности верны и для частот — поэтому частота и годится для оценки.

1. Девочек $5000 - 2512 = 2488$.
2. Частота $\dfrac{2488}{5000} = 0{,}4976 \approx 0{,}498$.
3. Частота рождения мальчиков в разных странах устойчиво около $0{,}51$ — это пример статистической устойчивости.

1. Частота: $\dfrac{51}{1000} = 0{,}051$.
2. Разность с вероятностью: $0{,}051 - 0{,}045 = 0{,}006$.
3. Частота не обязана совпадать с вероятностью: при $n = 1000$ отклонение порядка тысячных — обычное дело.

1. Частота брака $\dfrac{8}{100} = 0{,}08$ — оценка вероятности брака.
2. Без дефектов — противоположное событие: $1 - 0{,}08 = 0{,}92$.

1. Внимание: «на каждые $2982$ исправных», а не «из $2982$». В партии $2982 + 18 = 3000$ насосов.
2. $P = \dfrac{18}{3000} = 0{,}006$.
3. Сравните с примером 3: там «$8$ из $100$» — делим на $100$.

• Относительная частота $\dfrac mn$ находится по опытам; при больших $n$ она близка к вероятности.
• Определения вероятности: классическое $\dfrac mn$ по случаям, статистическое — по частоте, аксиоматическое — аксиомы Колмогорова.
• Из аксиом: $P(\bar A) = 1 - P(A)$, $P(\varnothing) = 0$, если $A$ влечёт $B$, то $P(A) \le P(B)$.
• «$k$ из $N$» — делим на $N$; «$k$ на каждые $N$» — делим на $N + k$.