Системы с несколькими неизвестными

• Решить систему — найти множество всех её решений. Оно может быть пустым: тогда система не имеет решений (несовместна).
• Так же определяется решение системы $n$ уравнений с $n$ неизвестными: тройка $(x_0;\ y_0;\ z_0)$ и т. д.
• Две системы равносильны, если совпадают множества всех их решений. Обозначение: $\iff$.
• Раньше решали системы рациональных уравнений; теперь в уравнениях будут корни, степени, логарифмы, тригонометрические функции.

• 1) Поменять уравнения местами. 2) Перенести члены одного уравнения из части в часть с противоположным знаком. 3) Умножить обе части одного уравнения на число $\ne 0$.
• 4) Заменить одно уравнение суммой этого уравнения и другого уравнения системы.
• 5) В одном уравнении привести подобные члены многочлена, применить формулы сокращённого умножения или формулы, верные при всех значениях: $\sqrt{f^2} = |f|$, $\ f^2 = |f|^2$, $\ a^{f + g} = a^f a^g$, $\ a^{f - g} = \dfrac{a^f}{a^g}$, $\ (a^f)^g = a^{fg}$ ($a > 0$, $a \ne 1$).
• Каждое из этих преобразований не меняет множество решений — в решении пишут «перепишем систему в виде».

• Приводим систему к виду $\begin{cases} y = F(x),\\ f(x;\ F(x)) = g(x;\ F(x)).\end{cases}$ Решаем уравнение с одним неизвестным, для каждого корня $x_i$ находим $y_i = F(x_i)$; все пары $(x_i;\ y_i)$ — решения системы.
• Пример 1. $\begin{cases} x + y = 1,\\ \dfrac{2^y}{5^x} = 200\end{cases}$: $x = 1 - y$, $\dfrac{2^y}{5^{1 - y}} = 200 \iff 10^y = 1000$, $y = 3$, $x = -2$. Ответ $(-2;\ 3)$.
• Пример 2. $\begin{cases} x + y = 1,\\ \log_3 x = \log_3(1 - y)\end{cases}$: подстановка $y = 1 - x$ даёт $\log_3 x = \log_3 x$ — верно при всех $x > 0$. Решения — бесконечно много пар $(\alpha;\ 1 - \alpha)$, $\alpha > 0$.

1. Из второго уравнения $y = \dfrac{\pi}{4} - x$. Подстановка: $\operatorname{tg} x \operatorname{tg}\left(\dfrac{\pi}{4} - x\right) = 5 - 2\sqrt6$.
2. Произведение синусов и косинусов в сумму: $\operatorname{tg} x \operatorname{tg}\left(\dfrac{\pi}{4} - x\right) = \dfrac{\cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) - \frac{\sqrt2}{2}}{\cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) + \frac{\sqrt2}{2}}$.
3. Уравнение $\dfrac{z - \frac{\sqrt2}{2}}{z + \frac{\sqrt2}{2}} = 5 - 2\sqrt6$ имеет единственный корень $z = \dfrac{\sqrt3}{2}$. Значит, $\cos\left(2x - \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt3}{2}$, $\ 2x - \dfrac{\pi}{4} = \pm\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n$.
4. $x = \dfrac{5\pi}{24} + \pi n$, $y = \dfrac{\pi}{24} - \pi n$ или $x = \dfrac{\pi}{24} + \pi m$, $y = \dfrac{5\pi}{24} - \pi m$.

Основаны на утверждениях 3 и 4: одно уравнение заменяют суммой этого уравнения, умноженного на число $\ne 0$, и другого уравнения, умноженного на число $\ne 0$. Получается равносильная система, часто гораздо проще исходной.

Так решали линейные системы в 7 классе (способ сложения). Теперь его применяют к любым уравнениям: вычитают, чтобы сократились квадраты, складывают, чтобы исчезло неизвестное.

1. Вычтем из второго уравнения первое: $y^2 - x^2 + 3(|x| + |y|) + |y| - |x| = -3$.
2. $y^2 - x^2 = (|y| - |x|)(|y| + |x|)$, поэтому второе уравнение — это $(|y| - |x| + 3)(|y| + |x| + 1) = 0$. Второй множитель всегда $\ge 1$: остаётся $|y| - |x| + 3 = 0$.
3. Умножим это уравнение на $3$ и сложим с первым: $x^2 - 2|x| - 3 = 0$, $|x| = 3$ (корень $|x| = -1$ невозможен).
4. $x = \pm 3$, тогда $|y| = |x| - 3 = 0$, $y = 0$.

• 7) К системе-следствию приводят: а) замена разности $f(x;\ y) - f(x;\ y)$ нулём (приведение подобных); б) возведение уравнения в чётную степень; в) освобождение от знаменателя; г) потенцирование.
• Формулы, расширяющие область: $\sqrt f\cdot\sqrt g \to \sqrt{fg}$, $\ \dfrac{\sqrt f}{\sqrt g} \to \sqrt{\dfrac fg}$, $\ \sqrt{fg} \to \sqrt{|f|}\cdot\sqrt{|g|}$, $\ \left(\sqrt[2n]{f}\right)^{2n} \to f$, $\ \log_a f + \log_a g \to \log_a(fg)$, $\ 2\log_a f \to \log_a f^2$, $\ a^{\log_a f} \to f$.
• Если в цепочке были только такие переходы, все решения исходной системы — среди решений последней; подставляем каждую пару в исходную систему.

• Приведение подобных. $\begin{cases} x + y = 1,\\ 2x^2 + 2\sqrt x - x = y^2 - 1 + 2(1 + \sqrt x)\end{cases}$ ⇒ $\begin{cases} y = 1 - x,\\ x^2 + x - 2 = 0.\end{cases}$ Пары $(1;\ 0)$ и $(-2;\ 3)$; при $x = -2$ не определён $\sqrt x$. Ответ $(1;\ 0)$.
• Чётная степень. $\begin{cases} \sqrt{x + y - 1} = 1,\\ \sqrt{y - x + 2} = 2x - 2\end{cases}$ ⇒ $\begin{cases} x + y - 1 = 1,\\ y - x + 2 = 4x^2 - 8x + 4.\end{cases}$ Пары $(0;\ 2)$ и $\left(\tfrac32;\ \tfrac12\right)$; при $x = 0$ правая часть $2x - 2 < 0$. Ответ $\left(\tfrac32;\ \tfrac12\right)$.
• Знаменатель. $\dfrac{x^2 + y^2}{xy} = 2$, $\dfrac{x^3 - y^2}{xy} = 1$ ⇒ $(x - y)^2 = 0$, $x^3 - y^2 = xy$: пары $(0;\ 0)$ и $(2;\ 2)$. При $(0;\ 0)$ знаменатель нуль. Ответ $(2;\ 2)$.
• Потенцирование. $\log_3 xy = \log_3\dfrac xy$, $x^3y^2 + y^4 = 2$ ⇒ $xy^2 = x$: $x = 0$ (пары $(0;\ \pm\sqrt[4]2)$) или $y^2 = 1$ (пары $(1;\ 1)$, $(1;\ -1)$). Логарифмы определены только при $(1;\ 1)$.

1. Формула $2^{\log_2 a} = a$ верна только при $a > 0$ — переход к $xy = x^2y - 2$ даёт следствие.
2. Вычтем из второго уравнения первое: $3x^2y^2 - xy - 4 = 0$, то есть $(3xy - 4)(xy + 1) = 0$.
3. $xy = \tfrac43$: из $xy = x^2y - 2$ получаем $x\cdot xy = xy + 2 = \tfrac{10}{3}$, $x = \tfrac52$, $y = \tfrac{8}{15}$.
4. $xy = -1$: $-x = 1$, $x = -1$, $y = 1$. Проверка: $\log_2 xy = \log_2(-1)$ не определён — пара посторонняя.

1. Из второго уравнения $2\sin y = x + 1$, подставим $8\sin y = 4(x + 1)$ в первое: $x^2 = 4(x + 1) + 1$, $x^2 - 4x - 5 = 0$.
2. $x = -1$: $\sin y = 0$, $y = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
3. $x = 5$: $\sin y = 3$ — решений нет, $|\sin y| \le 1$.

1. Перемножим уравнения: $y^2\operatorname{tg} x\operatorname{ctg} x = 27$, $y^2 = 27$, $y = \pm 3\sqrt3$. Разделим второе на первое: $\operatorname{tg}^2 x = \tfrac13$.
2. Такие переходы дают следствие (потеряна связь знаков). Из второго уравнения $\operatorname{tg} x = -\dfrac{3}{y}$ — у $y$ и $\operatorname{tg} x$ разные знаки.
3. $y = 3\sqrt3$: $\operatorname{tg} x = -\dfrac{1}{\sqrt3}$, $x = -\dfrac{\pi}{6} + \pi k$. $\ y = -3\sqrt3$: $\operatorname{tg} x = \dfrac{1}{\sqrt3}$, $x = \dfrac{\pi}{6} + \pi k$. Проверка: $y\operatorname{ctg} x = 3\sqrt3\cdot(-\sqrt3) = -9$.

1. Произведение равно нулю, когда один множитель нуль, а другой определён: $\begin{cases} 4y + 5 = 0,\\ \cos x \ge 0\end{cases}$ или $\sqrt{\cos x} = \dfrac15$.
2. $y = -\dfrac54$: из первого уравнения $\cos x = \dfrac54 > 1$ — решений нет.
3. $\cos x = \dfrac{1}{25}$: $x = \pm\arccos\dfrac{1}{25} + 2\pi n$, $\ y = -\cos x = -\dfrac{1}{25}$.

• Решение системы — пара (тройка) чисел; системы равносильны, если совпадают множества решений.
• Подстановка и линейные преобразования (сложение с множителем $\ne 0$) — равносильные переходы.
• Чётная степень, отбрасывание знаменателя, потенцирование, формулы с расширением области — система-следствие, проверка в исходной системе обязательна.
• Произведение равно нулю: один множитель нуль, другой определён.