Системы смешанного типа

• Сначала решаем систему для новых неизвестных $u$, $v$, затем для каждой найденной пары — систему возврата. Ни одну пару $(u_i;\ v_i)$ терять нельзя.
• Новые неизвестные выбирают так, чтобы уравнения стали алгебраическими: $u = \sqrt[4]{x + y}$, $v = \log_3 x$; $\ u = 3^{x/2}$, $v = 2^{y^2/2}$; $\ u = \cos x$, $v = \sin y$.

• $\begin{cases} 3\sqrt[4]{x + y} = \log_3 9x,\\ 2\sqrt[4]{x + y} = \log_3\dfrac{27}{x}\end{cases}$: $u = \sqrt[4]{x + y}$, $v = \log_3 x$, и так как $\log_3 9x = 2 + v$, $\log_3\dfrac{27}{x} = 3 - v$: $\begin{cases} 3u = 2 + v,\\ 2u = 3 - v,\end{cases}$ $u = v = 1$.
• Возврат: $\log_3 x = 1$, $\sqrt[4]{x + y} = 1$ — $x = 3$, $y = -2$. Ответ $(3;\ -2)$.
• $\begin{cases} 3^x - 2^{y^2} = 77,\\ 3^{x/2} - 2^{y^2/2} = 7\end{cases}$: $u = 3^{x/2}$, $v = 2^{y^2/2}$: $\begin{cases} (u - v)(u + v) = 77,\\ u - v = 7\end{cases} \iff \begin{cases} u + v = 11,\\ u - v = 7,\end{cases}$ $u = 9$, $v = 2$.
• Возврат: $3^{x/2} = 9$, $2^{y^2/2} = 2$ — $x = 4$, $y^2 = 2$. Ответ $(4;\ \sqrt2)$, $(4;\ -\sqrt2)$.

1. $x^4 - 2x^3 + x = (x^2 - x)^2 - (x^2 - x)$. Замена $u = y^2 - y$, $v = x^2 - x$: $\begin{cases} v^2 - v = u,\\ u^2 - u = v.\end{cases}$
2. Вычтем из второго уравнения первое: $u^2 - v^2 = 0$, $v = u$ или $v = -u$.
3. $v = u$: $v^2 - 2v = 0$, $(u;\ v) = (0;\ 0)$ или $(2;\ 2)$. $\ v = -u$: $v^2 = 0$, снова $(0;\ 0)$.
4. Возврат: $y^2 - y = 0$, $x^2 - x = 0$ — пары из $\{0;\ 1\}$; $y^2 - y = 2$, $x^2 - x = 2$ — пары из $\{-1;\ 2\}$.

1. $u = \cos x$, $v = \sin y$; $\cos 2x = 2u^2 - 1$, $\cos^2 y = 1 - v^2$: $\begin{cases} 4v^2 + 4v - 6\sqrt2 u - 9 = 0,\\ 2u^2 - 1 = 0.\end{cases}$
2. $u = \dfrac{1}{\sqrt2}$: $4v^2 + 4v - 15 = 0$, $v = \dfrac32$ или $v = -\dfrac52$. $\ u = -\dfrac{1}{\sqrt2}$: $4v^2 + 4v - 3 = 0$, $v = \dfrac12$ или $v = -\dfrac32$.
3. Числа $\dfrac32$, $-\dfrac52$, $-\dfrac32$ не входят в область значений синуса. Остаётся $\cos x = -\dfrac{1}{\sqrt2}$, $\sin y = \dfrac12$.

Когда трудно следить за равносильностью, рассуждают о числах: пусть $(x_0;\ y_0)$ — решение, то есть верны числовые равенства. Из них с помощью свойств — неотрицательности, ограниченности, монотонности — выводят, какими могут быть $x_0$ и $y_0$. Затем проверка.

Пример 3. $\begin{cases} x^2y^2 - 2x + y^2 = 0,\\ 2x^2 - 4x + y^3 + 3 = 0.\end{cases}$ Из первого $y_0^2 = \dfrac{2x_0}{x_0^2 + 1} \le 1$, так как $(1 - x_0)^2 \ge 0$. Значит, $|y_0| \le 1$.

Второе: $2(x_0 - 1)^2 + (1 + y_0^3) = 0$, и оба слагаемых неотрицательны ($y_0^3 \ge -1$). Сумма нуль, только если $x_0 = 1$, $y_0 = -1$. Проверка подтверждает: ответ $(1;\ -1)$.

1. Уравнений меньше, чем неизвестных: ищем скрытые условия. По формуле $2\cos\alpha\cos\beta = \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)$: $8\cos x\cos y\cos(x - y) + 1 = 4\cos^2(x - y) + 4\cos(x - y)\cos(x + y) + 1$.
2. Это равно $\left(2\cos(x - y) + \cos(x + y)\right)^2 + \sin^2(x + y)$ — сумма квадратов. Она равна нулю, только если $\sin(x + y) = 0$ и $2\cos(x - y) + \cos(x + y) = 0$.
3. $x + y = \pi k$, $y = \pi k - x$: $2\cos(2x - \pi k) + \cos\pi k = (-1)^k(2\cos 2x + 1) = 0$, $\cos 2x = -\dfrac12$, $x = \pm\dfrac{\pi}{3} + \pi n$.
4. Проверка показывает, что все найденные тройки — решения.

1. Возведём уравнения в квадрат и сложим: $x^2(\sin^2 y + \cos^2 y) = 25$, $x = \pm 5$ — это следствие, знаки проверим.
2. $x = 5$: $\sin y = \dfrac35$, $\cos y = \dfrac45$ — угол первой четверти, $y = \operatorname{arctg}\dfrac34 + 2\pi k$.
3. $x = -5$: $\sin y = -\dfrac35$, $\cos y = -\dfrac45$ — третья четверть, $y = \pi + \operatorname{arctg}\dfrac34 + 2\pi k$.

1. Второе уравнение: $t = \sin x$, $2t^2 - 3t - 2 = 0$, $t = -\dfrac12$ или $t = 2$ (не подходит). $\sin x = -\dfrac12$: $x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n$ или $x = -\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n$.
2. Первое уравнение: $\cos x = -\dfrac{3^y}{2} < 0$ — оценка отбрасывает серию $-\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n$ (там $\cos x > 0$).
3. $x = -\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n$: $\cos x = -\dfrac{\sqrt3}{2}$, $3^y = \sqrt3$, $y = \dfrac12$.

1. Дробь равна нулю: числитель нуль и $y > 0$. $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$: $\sin x = \dfrac12$ или $\sin x = 1$.
2. $\sin x = 1$: $y = \cos x = 0$ — знаменатель нуль, не подходит.
3. $\sin x = \dfrac12$: $x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n$, $y = \dfrac{\sqrt3}{2} > 0$ — подходит; $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n$, $y = -\dfrac{\sqrt3}{2} < 0$ — нет.

• Замена неизвестных: решить систему для $u$, $v$, затем объединить решения всех систем возврата.
• Новые неизвестные проверяем на область значений: $|\sin y| \le 1$, $3^y > 0$, $\sqrt{\ } \ge 0$.
• Рассуждения с числами: пусть $(x_0;\ y_0)$ — решение; оценки и неотрицательность сужают перебор до нескольких пар, затем проверка.
• Если уравнений меньше, чем неизвестных, ищем сумму квадратов или ограниченность.