Функции · 10 класс · урок 1 из 3 · Никольский, «Алгебра и начала анализа 10», § 10, п. 10.1

Функция y = sin x

Выход к заданиям: ЕГЭ №12

Сначала нужно знать: Единичная окружность, радианная мера угла, табличные значения
Зачем этот урок: ЕГЭ №12 (по графику найти коэффициенты); основа для уравнений ЕГЭ №14
Дальше: Функция y = cos x

Тригонометрические функции · урок 1

Функция y = sin x

Синус как функция числа: от окружности к графику

Что значит «функция y = sin x»

До сих пор синус был числом, которое мы находили для конкретного угла. Теперь угол будем менять и смотреть, как меняется синус.

Функция — правило, по которому каждому значению $x$ ставится в соответствие ровно одно значение $y$ . Здесь правило такое: $x$ — угол поворота в радианах, $y = \sin x$ — ордината точки $P$ единичной окружности.

Угол в радианах — обычное число: $x = 1$ — поворот на один радиан, $x = \pi \approx 3{,}14$ — пол-оборота. Поэтому $x$ откладываем по оси абсцисс, как в любом графике.

Строим по точкам

$x$	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\dfrac{5\pi}{6}$	$\pi$	$\dfrac{7\pi}{6}$	$\dfrac{3\pi}{2}$	$\dfrac{11\pi}{6}$	$2\pi$
$\sin x$	$0$	$\dfrac12$	$1$	$\dfrac12$	$0$	$-\dfrac12$	$-1$	$-\dfrac12$	$0$

Берём табличные углы одного оборота и по окружности считаем синус: $\dfrac{5\pi}{6}$ — это $150^\circ$ , точка симметрична точке $\dfrac{\pi}{6}$ относительно оси $y$ , ордината та же. $\dfrac{7\pi}{6}$ — точка ниже оси, ордината со знаком минус.

Отмечаем точки $(x;\,\sin x)$ на координатной плоскости и соединяем плавной линией.

Синусоида

График $y = \sin x$ называется синусоидой. Одна клетка по оси $x$ равна $\dfrac{\pi}{6}$ , по оси $y$ равна $0{,}5$ .

После $2\pi$ картина повторяется: полный оборот возвращает точку на окружности на то же место. Слева от нуля — отрицательные углы, повороты по часовой стрелке.

Волна не выходит за полосу от $-1$ до $1$ : ордината точки окружности радиуса $1$ больше по модулю не бывает.

Свойства, которые видно на графике

Область определения — все числа: синус есть у любого угла.
Область значений — отрезок $[-1;\,1]$ .
Период $2\pi$ : $\sin(x + 2\pi) = \sin x$ . Период — число, через которое значения функции повторяются.
Нечётная: $\sin(-x) = -\sin x$ . Точки $x$ и $-x$ на окружности симметричны относительно оси абсцисс, ординаты противоположны. График симметричен относительно начала координат.
Нули: $\sin x = 0$ при $x = \pi k$ , $k \in \mathbb{Z}$ . Буква $k$ — любое целое число, $\mathbb{Z}$ — множество целых чисел.
Наибольшее значение $1$ при $x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k$ , наименьшее $-1$ при $x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k$ .

Где синус растёт, а где убывает

Пусть угол растёт от $-\dfrac{\pi}{2}$ до $\dfrac{\pi}{2}$ : точка идёт по правой половине окружности снизу вверх, ордината растёт от $-1$ до $1$ . Функция возрастает.

От $\dfrac{\pi}{2}$ до $\dfrac{3\pi}{2}$ точка идёт по левой половине сверху вниз — функция убывает.

С учётом периода: возрастает на $\left[-\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k;\ \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\right]$ , убывает на $\left[\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k;\ \dfrac{3\pi}{2} + 2\pi k\right]$ .

Что делают числа a и b в y = a sin x + b

Множитель $a$ растягивает график по вертикали: $\sin x$ меняется от $-1$ до $1$ , значит, $a\sin x$ — от $-|a|$ до $|a|$ . Если $a < 0$ , график ещё и переворачивается.
Слагаемое $b$ поднимает весь график на $b$ (опускает, если $b < 0$ ).
Наибольшее значение $b + |a|$ , наименьшее $b - |a|$ , середина между ними — $b$ .
При $x = 0$ : $\sin 0 = 0$ , поэтому $f(0) = b$ . При $x = \dfrac{\pi}{2}$ : $\sin\dfrac{\pi}{2} = 1$ , поэтому $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = a + b$ .
На рисунке $y = 2\sin x + 1$ : $f(0) = 1$ , вершина $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 3$ , низ волны $-1$ .

Как читать клетки в задании №12

Масштаб в задании не всегда «одна клетка — единица». Сначала находим подписи: где на оси $y$ стоит $1$ , а на оси $x$ стоит $\pi$ , и считаем клетки до них.

Если до $1$ две клетки, одна клетка — это $0{,}5$ . Если до $\pi$ шесть клеток, одна клетка — $\dfrac{\pi}{6}$ ; если четыре — $\dfrac{\pi}{4}$ .

Потом выбираем точки, где синус известен: $x = 0$ (синус $0$ ), $x = \dfrac{\pi}{2}$ (синус $1$ ), $x = -\dfrac{\pi}{2}$ (синус $-1$ ). Обычно именно они отмечены на рисунке.

ЕГЭ, задание 12Пример 1

На рисунке изображён график функции

f(x) = a\sin x + b

. Найдите

a

Масштаб: до подписи $1$ на оси $y$ две клетки — одна клетка $0{,}5$ . До $\pi$ на оси $x$ шесть клеток — одна клетка $\dfrac{\pi}{6}$ .
Точка на оси $y$ : $x = 0$ , $y = 1{,}5$ (три клетки вверх). Так как $\sin 0 = 0$ , $f(0) = b$ , значит, $b = 1{,}5$ .
Вторая отмеченная точка — вершина: три клетки вправо, то есть $x = \dfrac{\pi}{2}$ , и семь клеток вверх, $y = 3{,}5$ .
$f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = a\cdot 1 + b$ , поэтому $a + 1{,}5 = 3{,}5$ и $a = 2$ .

Ответ: 2

ЕГЭ, задание 12Пример 2

На рисунке изображён график функции

f(x) = a\sin x + b

, где

a

b

— целые числа. Найдите

f\left(\dfrac{25\pi}{6}\right)

Масштаб: по $y$ клетка $0{,}5$ (до $1$ две клетки), по $x$ клетка $\dfrac{\pi}{4}$ (до $\pi$ четыре клетки).
$f(0) = b$ , а на графике при $x = 0$ точка на две клетки ниже оси: $b = -1$ .
Вторая точка — низ волны при $x = \dfrac{\pi}{2}$ (две клетки вправо), $y = -3$ (шесть клеток вниз). $a\cdot 1 + b = -3$ , значит, $a = -2$ . Минус у $a$ — график перевёрнут: на $\dfrac{\pi}{2}$ не вершина, а впадина.
$f(x) = -2\sin x - 1$ . Угол $\dfrac{25\pi}{6} = 4\pi + \dfrac{\pi}{6}$ — два полных оборота и ещё $\dfrac{\pi}{6}$ , поэтому $\sin\dfrac{25\pi}{6} = \sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac12$ .
$f\left(\dfrac{25\pi}{6}\right) = -2\cdot\dfrac12 - 1 = -2$ .

Ответ: −2

Главное

$y = \sin x$ : $x$ — угол в радианах, $y$ — ордината точки единичной окружности. График — синусоида.
Значения от $-1$ до $1$ , период $2\pi$ , функция нечётная, нули $x = \pi k$ .
В $y = a\sin x + b$ : $f(0) = b$ , $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = a + b$ .
В задании №12 сначала определяем цену клетки по подписям $1$ и $\pi$ .

Функция y = sin x

Все уроки станции «Тригонометрические функции»