Функции · 10 класс · урок 2 из 3 · Никольский, «Алгебра и начала анализа 10», § 10, п. 10.2

Функция y = cos x

Выход к заданиям: ЕГЭ №12

Сначала нужно знать: Функция y = sin x, формулы приведения
Зачем этот урок: ЕГЭ №12 (по графику найти коэффициенты); уравнения ЕГЭ №14
Дальше: Функции y = tg x и y = ctg x

Тригонометрические функции · урок 2

Функция y = cos x

Та же синусоида, сдвинутая влево

Косинус как функция

$y = \cos x$ — абсцисса точки $P$ единичной окружности при повороте на угол $x$ .

Считаем по табличным углам: $\cos 0 = 1$ , $\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac12$ , $\cos\dfrac{\pi}{2} = 0$ , $\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac12$ , $\cos\pi = -1$ .

Дальше точка идёт по нижней половине, абсцисса снова растёт: $\cos\dfrac{4\pi}{3} = -\dfrac12$ , $\cos\dfrac{3\pi}{2} = 0$ , $\cos\dfrac{5\pi}{3} = \dfrac12$ , $\cos 2\pi = 1$ .

График косинуса

Получается та же синусоида, только сдвинутая на $\dfrac{\pi}{2}$ влево. Её максимум теперь в нуле.

Причина — формула приведения $\cos x = \sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)$ : косинус в точке $x$ равен синусу в точке на $\dfrac{\pi}{2}$ правее.

Поэтому всё, что мы знаем про синусоиду (размах от $-1$ до $1$ , период $2\pi$ ), верно и здесь.

Свойства косинуса

Область определения — все числа, область значений — $[-1;\,1]$ , период $2\pi$ .
Чётная: $\cos(-x) = \cos x$ . Точки $x$ и $-x$ симметричны относительно оси абсцисс, абсциссы у них одинаковые. График симметричен относительно оси $y$ .
Нули: $\cos x = 0$ при $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k$ , $k \in \mathbb{Z}$ — точки $(0;\,1)$ и $(0;\,-1)$ на окружности.
Наибольшее значение $1$ при $x = 2\pi k$ , наименьшее $-1$ при $x = \pi + 2\pi k$ .
Убывает на $[2\pi k;\ \pi + 2\pi k]$ (точка идёт по верхней половине справа налево), возрастает на $[\pi + 2\pi k;\ 2\pi + 2\pi k]$ .

y = a cos x + b по двум точкам

Удобные точки: $x = 0$ ( $\cos 0 = 1$ ) и $x = \pi$ ( $\cos\pi = -1$ ).

$f(0) = a + b$ , $f(\pi) = -a + b$ . Сложим равенства: $2b = f(0) + f(\pi)$ . Вычтем: $2a = f(0) - f(\pi)$ .

Ещё одна точка: при $x = \dfrac{\pi}{2}$ косинус $0$ , поэтому $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = b$ .

На рисунке $y = 2\cos x + 1$ : $f(0) = 3$ , $f(\pi) = -1$ , отсюда $b = 1$ , $a = 2$ .

ЕГЭ, задание 12Пример 1

На рисунке изображён график функции

f(x) = a\cos x + b

. Найдите

a

Масштаб: по $y$ до $1$ две клетки — клетка $0{,}5$ ; по $x$ до $\pi$ четыре клетки — клетка $\dfrac{\pi}{4}$ .
Отмеченная точка слева: две клетки влево, $x = -\dfrac{\pi}{2}$ , две клетки вниз, $y = -1$ . Косинус $-\dfrac{\pi}{2}$ равен $0$ , поэтому $f\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = b = -1$ .
Точка на оси $y$ : $f(0) = 0{,}5$ (одна клетка вверх). $f(0) = a\cdot 1 + b$ , то есть $a - 1 = 0{,}5$ .
$a = 1{,}5$ . Проверка по низу волны: при $x = \pi$ должно быть $-a + b = -2{,}5$ — это пять клеток вниз, так и есть.

Ответ: 1,5

ЕГЭ, задание 12Пример 2

На рисунке изображён график функции

f(x) = a\cos x + b

, где

a

b

— целые числа. Найдите

f\left(\dfrac{13\pi}{3}\right)

Масштаб: клетка по $y$ равна $0{,}5$ , по $x$ равна $\dfrac{\pi}{4}$ .
$f(0) = 3$ (шесть клеток вверх), $f(\pi) = -1$ (четыре клетки вправо, две вниз).
$a + b = 3$ и $-a + b = -1$ . Складываем: $2b = 2$ , $b = 1$ ; тогда $a = 2$ .
$f(x) = 2\cos x + 1$ . Угол $\dfrac{13\pi}{3} = 4\pi + \dfrac{\pi}{3}$ , два полных оборота отбрасываем: $\cos\dfrac{13\pi}{3} = \cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac12$ .
$f\left(\dfrac{13\pi}{3}\right) = 2\cdot\dfrac12 + 1 = 2$ .

Ответ: 2

Главное

$y = \cos x$ — абсцисса точки единичной окружности; график — синусоида, сдвинутая на $\dfrac{\pi}{2}$ влево.
Чётная, период $2\pi$ , значения от $-1$ до $1$ , нули $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k$ .
В $y = a\cos x + b$ : $f(0) = a + b$ , $f(\pi) = -a + b$ , $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = b$ .
Большой угол сначала уменьшаем на полные обороты $2\pi$ .

Функция y = cos x

Все уроки станции «Тригонометрические функции»