Функции y = tg x и y = ctg x

$\operatorname{tg}\,x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ — дробь, а на ноль делить нельзя.

$\cos x = 0$ при $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. В этих точках тангенс не определён.

Это и есть область определения: $x \ne \dfrac{\pi}{2} + \pi k$. Ограничение не придумано отдельно — оно прямо следует из того, что тангенс — дробь.

Возьмём интервал $\left(-\dfrac{\pi}{2};\,\dfrac{\pi}{2}\right)$ между соседними запрещёнными точками: $\operatorname{tg}\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -1$, $\operatorname{tg}\,0 = 0$, $\operatorname{tg}\,\dfrac{\pi}{4} = 1$.

У края интервала косинус близок к нулю, дробь становится огромной по модулю. Кривая неограниченно приближается к вертикальным прямым $x = \pm\dfrac{\pi}{2}$ — их называют асимптотами (на рисунке пунктир).

Кривая называется тангенсоидой: на каждом интервале она растёт от «минус бесконечности» до «плюс бесконечности».

Поворот на пол-оборота переводит точку окружности в противоположную: меняют знак и синус, и косинус. Их частное остаётся прежним.

Поэтому ветви тангенсоиды повторяются через $\pi$. Это важно в уравнениях: у тангенса все решения записываются с $+\pi k$, а не $+2\pi k$.

• Область определения: $x \ne \dfrac{\pi}{2} + \pi k$. Область значений — все числа.
• Период $\pi$. Нечётная: $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg}\,x$ (синус нечётный, косинус чётный).
• Нули: $x = \pi k$ — там, где синус равен нулю.
• Возрастает на каждом интервале $\left(-\dfrac{\pi}{2} + \pi k;\ \dfrac{\pi}{2} + \pi k\right)$. Наибольшего и наименьшего значения нет.

$\operatorname{ctg}\,x = \dfrac{\cos x}{\sin x}$ не определён там, где $\sin x = 0$: при $x = \pi k$. Асимптоты — прямые $x = \pi k$.

Период тоже $\pi$, функция нечётная, нули при $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k$.

На каждом интервале $(\pi k;\ \pi + \pi k)$ котангенс убывает от «плюс бесконечности» до «минус бесконечности»: $\operatorname{ctg}\,\dfrac{\pi}{4} = 1$, $\operatorname{ctg}\,\dfrac{\pi}{2} = 0$, $\operatorname{ctg}\,\dfrac{3\pi}{4} = -1$.

• $x = 0$: $\operatorname{tg}\,0 = 0$, поэтому $f(0) = b$ — точка на оси $y$.
• $x = \dfrac{\pi}{4}$: $\operatorname{tg}\,\dfrac{\pi}{4} = 1$, поэтому $f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = a + b$.
• $x = -\dfrac{\pi}{4}$: $f\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -a + b$.
• Асимптоты на рисунке помогают найти $\dfrac{\pi}{2}$ и цену клетки по $x$, если подпись $\pi$ далеко.

• $\operatorname{tg}\,x$ не существует при $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k$, $\operatorname{ctg}\,x$ — при $x = \pi k$; там асимптоты.
• Период обеих функций $\pi$, обе нечётные; тангенс на каждом интервале растёт, котангенс убывает.
• В $y = a\,\operatorname{tg}\,x + b$: $f(0) = b$, $f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = a + b$.