Алгебраическая дробь и её свойства

Сумма, разность и произведение многочленов — снова многочлены. Частное — уже нет. Алгебраической дробью называют выражение $\dfrac AB$ — частное многочлена $A$ и ненулевого многочлена $B$. $A$ — числитель, $B$ — знаменатель.

Примеры: $\dfrac{a - b}{a + b}$, $\ \dfrac{a^2 - b^2}{3}$ (число $3$ — тоже многочлен), $\ \dfrac{1}{x}$. Если $A$ и $B$ — числа, дробь — обычное число: $\dfrac{-5}{3}$.

Произведения многочленов в числителе и знаменателе, например $\dfrac{(a - 1)(a + 2)}{a(a + 3)}$, тоже называют алгебраическими дробями: их можно перемножить.

• Любой многочлен — дробь со знаменателем $1$: $x^2 - 2y = \dfrac{x^2 - 2y}{1}$.
• Основное свойство: числитель и знаменатель можно умножить на один и тот же ненулевой многочлен $C$ — получится равная дробь.
• Слева направо — приведение к новому знаменателю: $\dfrac xy = \dfrac{3x}{3y}$; $\ \dfrac{x + 1}{x - 1} = \dfrac{(x + 1)(x - 1)}{(x - 1)^2} = \dfrac{x^2 - 1}{(x - 1)^2}$.
• Справа налево — сокращение на общий множитель: $\dfrac{2x + x^2}{3x - x^2} = \dfrac{x(2 + x)}{x(3 - x)} = \dfrac{2 + x}{3 - x}$.

• 1) Разложить числитель и знаменатель на множители (вынести общий множитель, формулы, группировка).
• 2) Сократить общие множители — именно множители, а не слагаемые: $\dfrac{x^2 - 1}{(x - 1)^2} = \dfrac{(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)(x - 1)} = \dfrac{x + 1}{x - 1}$.
• Частая ошибка: $\dfrac{a + 2}{a} \ne 2$ — $a$ здесь слагаемое числителя, а не множитель. Проверка числом: при $a = 1$ слева $3$.
• Сокращённая дробь равна исходной при всех значениях букв, при которых исходная определена: $\dfrac{x^2 - 1}{(x - 1)^2}$ при $x = 1$ смысла не имеет, хотя $\dfrac{x + 1}{x - 1}$ — тоже.

Минус перед дробью можно перенести в числитель или в знаменатель: $-\dfrac{a - b}{a + b} = \dfrac{-a + b}{a + b} = \dfrac{a - b}{-a - b}$.

Если поменять знак и у числителя, и у знаменателя, дробь не изменится — это умножение на $-1$ сверху и снизу.

Приём нужен, когда множители отличаются только знаком: $\dfrac{x - 3}{3 - x} = \dfrac{x - 3}{-(x - 3)} = -1$.

1. а) Коэффициенты: $\dfrac{24}{36} = \dfrac23$; буквы — по наименьшей степени: $\dfrac{2a}{3b^2c}$.
2. б) $\dfrac{4(m - n)}{6(m - n)} = \dfrac23$.
3. в) $\dfrac{(a - b)(a + b)}{(a + b)^2} = \dfrac{a - b}{a + b}$.
4. г) $\dfrac{x(x - y)}{y(y - x)} = \dfrac{x(x - y)}{-y(x - y)} = -\dfrac xy$ — множители отличались знаком.

1. Числитель: $a(a + 4)$. Знаменатель — квадрат суммы: $(a + 4)^2$.
2. $\dfrac{a(a + 4)}{(a + 4)^2} = \dfrac{a}{a + 4}$.
3. При $a = -2$: $\ \dfrac{-2}{2} = -1$.

1. $\dfrac{(a - 2)(a + 2)}{2a(a + 2)} = \dfrac{a - 2}{2a}$.
2. При $a = 0{,}5$: $\ \dfrac{-1{,}5}{1} = -1{,}5$.

1. Числитель — разность квадратов: $(a - 4)(a + 4)$.
2. Знаменатель группировкой: $b(a - 4) - 3(a - 4) = (a - 4)(b - 3)$.
3. $\dfrac{(a - 4)(a + 4)}{(a - 4)(b - 3)} = \dfrac{a + 4}{b - 3}$.

• $\dfrac AB$ — частное многочлена и ненулевого многочлена.
• $\dfrac{AC}{BC} = \dfrac AB$: приводим к новому знаменателю или сокращаем.
• Сокращаем только множители: сначала раскладываем числитель и знаменатель.
• $-\dfrac AB = \dfrac{-A}{B} = \dfrac{A}{-B}$; $\ \dfrac{b - a}{a - b} = -1$.