Действия с алгебраическими дробями

Любые две дроби приводятся к общему знаменателю — произведению их знаменателей: $\dfrac{1}{x - 1}$ и $\dfrac{1}{x + 1}$ — к $(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$.

Но если у знаменателей есть общий множитель $R$ ($B = B_1R$, $D = D_1R$), удобнее знаменатель $B_1D_1R$ — в нём меньше множителей. $\dfrac{1}{x^2 - 1}$ и $\dfrac{1}{(x - 1)^2}$: $\ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$, общий знаменатель $(x - 1)^2(x + 1)$.

Поэтому знаменатели сначала раскладывают на множители. Иногда хватает смены знака: $\dfrac{1}{1 - x} = \dfrac{-1}{x - 1}$.

Дроби с одинаковым знаменателем складывают и вычитают по числителям. С разными знаменателями — сначала приводят к общему: $\dfrac AB \pm \dfrac CD = \dfrac{AD \pm CB}{BD}$.

При делении $C$, как и $B$ и $D$, — ненулевой многочлен: делить на дробь — значит умножать на перевёрнутую.

Правила — те же, что для обыкновенных дробей; из них следует: $\dfrac 0B = 0$, $\ \dfrac AB \cdot \dfrac BA = 1$, $\ \dfrac AB - \dfrac AB = 0$.

• $\dfrac{1}{x - 1} + \dfrac{x}{x - 1} = \dfrac{1 + x}{x - 1}$; $\quad \dfrac{x}{x - 2} - \dfrac{2}{x - 2} = \dfrac{x - 2}{x - 2} = 1$.
• $\dfrac{2}{x - 2} + \dfrac{x}{x + 2} = \dfrac{2(x + 2) + x(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \dfrac{x^2 + 4}{x^2 - 4}$.
• $\dfrac{x^2}{x^3 - y^3} - \dfrac{x - y}{x^2 + xy + y^2} = \dfrac{x^2 - (x - y)^2}{x^3 - y^3}$ — общий знаменатель $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$; дальше $\dfrac{2xy - y^2}{x^3 - y^3}$.
• $\dfrac{a - 4}{a + 3} \cdot \dfrac{a + 3}{a} = \dfrac{a - 4}{a}$; $\quad \dfrac{a - 5}{a + 7} : \dfrac{a - 5}{8} = \dfrac{(a - 5) \cdot 8}{(a + 7)(a - 5)} = \dfrac{8}{a + 7}$.

1. а) Общий знаменатель $(x - 1)^2(x + 1)$: $\ \dfrac{(x - 1) + (x + 1)}{(x - 1)^2(x + 1)} = \dfrac{2x}{(x - 1)^2(x + 1)}$.
2. б) $\dfrac{1}{1 - x} = -\dfrac{1}{x - 1}$, поэтому $\dfrac{1}{x - 1} + \dfrac{1}{x - 1} = \dfrac{2}{x - 1}$.
3. в) $\dfrac{x(x + 3) - 3(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)} = \dfrac{x^2 + 9}{x^2 - 9}$.

1. $\dfrac{(x - 2)(x + 2) \cdot 2x}{4x^2 (x + 2)}$ — сокращаем $(x + 2)$ и $2x$.
2. $= \dfrac{x - 2}{2x}$.
3. При $x = 4$: $\ \dfrac{2}{8} = 0{,}25$.

1. $4a - a^2 = a(4 - a)$ — общий знаменатель $a(4 - a)$.
2. $\dfrac{16 - 4(4 - a)}{a(4 - a)} = \dfrac{4a}{a(4 - a)} = \dfrac{4}{4 - a}$.
3. При $a = -12$: $\ \dfrac{4}{16} = 0{,}25$.

1. $5x = \dfrac{5x(2x - 3)}{2x - 3}$: $\ \dfrac{10x - 10x^2 + 15x}{2x - 3} = \dfrac{25x - 10x^2}{2x - 3}$.
2. При $x = 0{,}5$: числитель $12{,}5 - 2{,}5 = 10$, знаменатель $1 - 3 = -2$.
3. $\dfrac{10}{-2} = -5$.

1. $7b = \dfrac{7b^2}{b}$: $\ \dfrac{7b^2 + 2a - 7b^2}{b} = \dfrac{2a}{b}$.
2. При $a = 9$, $b = 12$: $\ \dfrac{18}{12} = 1{,}5$.

• Знаменатели раскладываем на множители и берём общий знаменатель без лишних множителей.
• $\dfrac AB \pm \dfrac CD = \dfrac{AD \pm CB}{BD}$; $\ \dfrac AB \cdot \dfrac CD = \dfrac{AC}{BD}$; $\ \dfrac AB : \dfrac CD = \dfrac{AD}{BC}$.
• Результат сокращаем; при необходимости меняем знак у множителя вида $b - a$.
• «Упростите и найдите значение»: подставляем только в упрощённое выражение.