Рациональные выражения. Тождества

Рациональным выражением называют выражение, в котором несколько алгебраических дробей соединены знаками арифметических действий, без деления на нулевой многочлен. Алгебраическая дробь и целое выражение — тоже рациональные выражения.

Не имеют смысла, например, $\dfrac{1}{a - a}$ и $\dfrac{1}{4y^2 - (y + y)^2}$: знаменатели — нулевые многочлены.

Рациональные выражения упрощают по правилам действий с дробями, соблюдая тот же порядок действий, что и в числовых выражениях.

1. 1) $1 + \dfrac1a = \dfrac{a + 1}{a}$; $\$ 2) $\dfrac6b + \dfrac3a + \dfrac{3}{ab} = \dfrac{6a + 3b + 3}{ab}$.
2. 3) $\dfrac{a + 1}{a} : \dfrac{6a + 3b + 3}{ab} = \dfrac{(a + 1)ab}{a(6a + 3b + 3)} = \dfrac{(a + 1)b}{6a + 3b + 3}$.
3. 4) $\dfrac{ab}{3} : (2a + b + 1) = \dfrac{ab}{3(2a + b + 1)} = \dfrac{ab}{6a + 3b + 3}$.
4. 5) $\dfrac{ab + b - ab}{6a + 3b + 3} = \dfrac{b}{6a + 3b + 3}$.

1. а) $\dfrac{x + y}{xy}(x^2 - xy + y^2) + \dfrac{y - x}{xy}(x^2 + xy + y^2) = \dfrac{x^3 + y^3}{xy} + \dfrac{y^3 - x^3}{xy}$ — сумма и разность кубов.
2. $= \dfrac{2y^3}{xy} = \dfrac{2y^2}{x}$.
3. б) Знаменатели $xy$, $x(x - y)$, $y(x - y)$, общий — $xy(x - y)$. Числитель: $a^2(x - y) + (a + x)^2y - (a + y)^2x = x^2y - xy^2$.
4. $\dfrac{xy(x - y)}{xy(x - y)} = 1$.

Подставив числа вместо букв, получаем значение рационального выражения: при $a = 3$ выражение выше равно $\dfrac{8}{2} + 6 = 10$.

При $a = 1$ знаменатель обращается в нуль, и выражение не имеет смысла. Говорят: выражение определено при всех $a$, кроме $a = 1$.

Дробь $\dfrac AB$ определена при всех значениях букв, кроме тех, при которых $B = 0$: $\dfrac{x + y}{x - y}$ — при $x \ne y$; $\ \dfrac{z - t}{2x - 3y}$ — при $2x \ne 3y$.

Задача 1. $\dfrac{3}{x^2 + 2x + 4} \le 1$ при любом $x$. Выделим полный квадрат: $x^2 + 2x + 4 = (x + 1)^2 + 3 \ge 3$. Знаменатель положителен и не меньше $3$, поэтому дробь не больше $1$; равенство — только при $x = -1$.

Задача 2. $\dfrac{5}{x^2 + y^2 - 4x + 10y + 34} \le 1$ при любых $x$, $y$: знаменатель $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 + 5 \ge 5$. Равенство — при $x = 2$, $y = -5$.

1. Скобка: $\dfrac{a^2 + 2a + 1}{a} = \dfrac{(a + 1)^2}{a}$.
2. $\dfrac{(a + 1)^2}{a} \cdot \dfrac{1}{a + 1} = \dfrac{a + 1}{a}$.
3. При $a = -5$: $\ \dfrac{-4}{-5} = 0{,}8$.

1. Скобка: $\dfrac{(a - 5) - (a + 5)}{(a + 5)(a - 5)} = \dfrac{-10}{a^2 - 25}$.
2. $a^3 - 25a = a(a^2 - 25)$, поэтому всё выражение равно $a(a^2 - 25) \cdot \dfrac{-10}{a^2 - 25} = -10a$.
3. При $a = -39$: $\ 390$.

1. Подставлять смешанные дроби сразу — долго. Упростим: $\dfrac1b - \dfrac1a = \dfrac{a - b}{ab}$.
2. $\dfrac{(a - b)(a + b)}{ab} \cdot \dfrac{ab}{a - b} = a + b$.
3. $a + b = 7\dfrac{2}{17} + 6\dfrac{15}{17} = 13\dfrac{17}{17} = 14$.

Равенство двух рациональных выражений называют тождеством, если оно превращается в верное числовое равенство при всех значениях букв, при которых определены обе его части.

$\dfrac{a^2 + a + 1}{a - 3} = \dfrac{(a^2 + a + 1)(a - 1)}{(a - 3)(a - 1)}$ — тождество при $a \ne 3$ и $a \ne 1$: правая часть получена умножением числителя и знаменателя на одно и то же число.

Любое верное равенство рациональных выражений, полученное по правилам действий с дробями, — тождество. Для целых выражений определение прежнее: они определены при всех значениях букв.

1. а) Общий знаменатель $(x - y)(x + y)$: числитель $x + y - (x - y) - 2y = 0$. Тождество верно при $|x| \ne |y|$.
2. б) Левая часть по формулам кубов: $(a - b) - (a + b) = -2b$.
3. Правая по разности квадратов: $(a - b) - (a + b) = -2b$. Части равны при всех $a$, $b$, при которых они определены.

• Рациональное выражение упрощаем по действиям, в обычном порядке; результат сокращаем.
• Выражение определено при всех значениях букв, кроме обращающих знаменатели в нуль.
• «Неудобные» числа (смешанные дроби, большие значения) — сигнал: сначала упростить.
• Тождество рациональных выражений верно там, где определены обе части.