Геометрия · 11 класс · урок 1 из 3 · Атанасян, «Геометрия 10–11», гл. IV, § 1

Цилиндр

Выход к заданиям: ЕГЭ №3, ЕГЭ №15

Сначала нужно знать
Правильные многогранники
Зачем этот урок
ЕГЭ №3 и №15: осевое сечение, развёртка и площадь поверхности цилиндра
Дальше
Конус
Тела вращения · урок 1
Цилиндр
Цилиндрическая поверхность, сечения, площадь поверхности
Понятие цилиндра
OO₁MM₁rh
  • Окружность LL с центром OO радиуса rr в плоскости α\alpha; через каждую её точку проводим прямую ⊥α\perp \alpha. Эти прямые — образующие цилиндрической поверхности, прямая через OO перпендикулярно α\alpha — её ось. Все они параллельны.
  • Параллельная плоскость β\beta пересекает поверхность по окружности L1L_1 того же радиуса: OMM1O1OMM_1O_1 — прямоугольник, O1M1=OM=rO_1M_1 = OM = r.
  • Цилиндр — тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами LL и L1L_1. Круги — основания, отрезки образующих между ними — образующие цилиндра, их часть поверхности — боковая поверхность.
  • Образующие равны и параллельны; их длина — высота hh, радиус основания — радиус цилиндра.
  • Цилиндр получается вращением прямоугольника вокруг его стороны: боковую поверхность даёт противоположная сторона, основания — две другие.
Сечения цилиндра
γ
  • Осевое сечение — плоскостью через ось: прямоугольник, две стороны которого — образующие, две другие — диаметры оснований (2r×h2r \times h).
  • Сечение плоскостью, перпендикулярной оси, — круг радиуса rr: плоскость отсекает цилиндр, одно из оснований которого и есть сечение.
  • Сечение плоскостью, параллельной оси, на расстоянии d<rd < r — прямоугольник, две стороны которого — образующие, а две другие — хорды оснований длиной 2r2−d22\sqrt{r^2 - d^2} (№ 327).
  • Цилиндры с параболой в основании и наклонные цилиндры бывают, но в курсе «цилиндр» — прямой круговой.
Площадь поверхности цилиндра
ABABA′B′2πrh
Sбок=2πrh,Sцил=2πr(r+h)S_{\text{бок}} = 2\pi r h, \qquad S_{\text{цил}} = 2\pi r(r + h)
  • Разрежем боковую поверхность по образующей ABAB и развернём на плоскость — получится прямоугольник ABB′A′ABB'A', развёртка: AA′=2πrAA' = 2\pi r (развёрнутая окружность основания), AB=hAB = h.
  • За площадь боковой поверхности принимают площадь развёртки: Sбок=2πrhS_{\text{бок}} = 2\pi r h — длина окружности основания на высоту.
  • Площадь полной поверхности — боковая плюс два круга по πr2\pi r^2.
Атанасян, № 321, 328Пример 1
ABHOdr
а) Диагональ осевого сечения цилиндра 4848 см, угол между ней и образующей 60∘60^\circ. Найдите высоту, радиус, площадь основания. б) Высота цилиндра 88 см, радиус 55 см. Найдите площадь сечения плоскостью, параллельной оси, на расстоянии 33 см от неё.
  1. а) В прямоугольном треугольнике «диагональ — образующая — диаметр»: h=48cos⁡60∘=24h = 48\cos 60^\circ = 24 см, 2r=48sin⁡60∘=2432r = 48\sin 60^\circ = 24\sqrt3, r=123r = 12\sqrt3 см, S=πr2=432πS = \pi r^2 = 432\pi см2^2.
  2. б) Сечение — прямоугольник с высотой 88 и стороной-хордой ABAB. OH=d=3OH = d = 3, OB=5OB = 5, HB=4HB = 4, AB=8AB = 8.
  3. S=8⋅8=64S = 8 \cdot 8 = 64 см2^2.
Ответ: а) 2424 см, 12312\sqrt3 см, 432π432\pi см2^2; б) 6464 см2^2
Атанасян, № 339Пример 2
Высота цилиндра на 1212 см больше его радиуса, а площадь полной поверхности равна 288π288\pi см2^2. Найдите радиус и высоту.
  1. h=r+12h = r + 12; 2πr(r+r+12)=288π2\pi r(r + r + 12) = 288\pi, то есть r(2r+12)=144r(2r + 12) = 144, r2+6r−72=0r^2 + 6r - 72 = 0.
  2. r=6r = 6 (корень −12-12 не подходит), h=18h = 18.
Ответ: r=6r = 6 см, h=18h = 18 см
ЕГЭ, задание 3Пример 3
Площадь осевого сечения цилиндра равна 44. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, делённую на π\pi.
  1. Осевое сечение — прямоугольник 2r×h2r \times h: 2rh=42rh = 4.
  2. Sбок=2πrh=π⋅2rh=4πS_{\text{бок}} = 2\pi r h = \pi \cdot 2rh = 4\pi, делённая на π\pi — 44.
Ответ: 4
ЕГЭ, задание 3Пример 4
Длина окружности основания цилиндра равна 33. Площадь боковой поверхности равна 66. Найдите высоту цилиндра.
  1. Sбок=C⋅hS_{\text{бок}} = C \cdot h, где CC — длина окружности основания.
  2. 6=3h6 = 3h, h=2h = 2.
Ответ: 2
Главное
  • Цилиндр — тело вращения прямоугольника; образующие равны высоте и параллельны оси.
  • Осевое сечение — прямоугольник 2r×h2r \times h; перпендикулярное оси — круг радиуса rr.
  • Sбок=2πrhS_{\text{бок}} = 2\pi rh — площадь развёртки; Sцил=2πr(r+h)S_{\text{цил}} = 2\pi r(r + h).
  • Сечение, параллельное оси на расстоянии dd, — прямоугольник со стороной 2r2−d22\sqrt{r^2 - d^2}.

Все уроки станции «Тела вращения»

  1. Цилиндр
  2. Конус
  3. Сфера и шар