Геометрия · 11 класс · урок 2 из 3 · Атанасян, «Геометрия 10–11», гл. IV, § 2

Конус

Выход к заданиям: ЕГЭ №3, ЕГЭ №15

Сначала нужно знать: Цилиндр
Зачем этот урок: ЕГЭ №3 и №15: осевое сечение, развёртка и площадь поверхности конуса, усечённый конус
Дальше: Сфера и шар

Тела вращения · урок 2

Конус

Коническая поверхность, сечения, развёртка, усечённый конус

Понятие конуса

Окружность $L$ с центром $O$ и прямая $OP \perp$ её плоскости. Прямые через $P$ и точки окружности — образующие конической поверхности, $P$ — вершина, $OP$ — ось.
Конус — тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей $L$ . Круг — основание, отрезки образующих от вершины до основания — образующие конуса, $PO$ — высота.
Все образующие равны: $l = \sqrt{h^2 + r^2}$ — гипотенузы равных прямоугольных треугольников $POA$ .
Конус получается вращением прямоугольного треугольника вокруг катета: гипотенуза даёт боковую поверхность, второй катет — основание.

Сечения конуса

Осевое сечение (через ось) — равнобедренный треугольник: основание — диаметр $2r$ , боковые стороны — образующие $l$ , высота — высота конуса $h$ .
Сечение через вершину и хорду основания — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $l$ .
Сечение плоскостью, перпендикулярной оси, — круг с центром $O_1$ на оси радиуса $r_1 = \dfrac{PO_1}{PO}\, r$ (из подобия $\triangle PO_1M_1 \sim \triangle POM$ , № 355).
Поэтому площади таких сечений относятся как квадраты расстояний от вершины (№ 356): сечение через середину высоты имеет площадь $\dfrac14$ основания.

Площадь поверхности конуса

S_{\text{бок}} = \pi r l, \qquad S_{\text{кон}} = \pi r(l + r)

Разрежем боковую поверхность по образующей и развернём — сектор радиуса $l$ , длина дуги которого равна длине окружности основания $2\pi r$ .
Площадь сектора $\dfrac{\pi l^2}{360^\circ}\alpha$ . Из $\dfrac{\pi l}{180^\circ}\alpha = 2\pi r$ получаем $\alpha = \dfrac{360^\circ r}{l}$ , подставляем: $S_{\text{бок}} = \pi r l$ — половина длины окружности основания на образующую.
Полная поверхность — боковая плюс круг основания $\pi r^2$ .

Усечённый конус

Плоскость, перпендикулярная оси, делит конус на меньший конус и усечённый конус. Основания — исходный круг и круг сечения, высота — отрезок между центрами $O_1O$ , образующие — части образующих конуса между основаниями (все равны).

Усечённый конус получается вращением прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны, перпендикулярной основаниям.

Вывод. $S_{\text{бок}} = \pi r \cdot PA - \pi r_1 \cdot PA_1 = \pi r l + \pi(r - r_1)PA_1$ . Из подобия $\dfrac{PA_1 + l}{PA_1} = \dfrac{r}{r_1}$ : $PA_1 = \dfrac{l r_1}{r - r_1}$ , и $S_{\text{бок}} = \pi(r + r_1)l$ .

S_{\text{бок}} = \pi (r + r_1)\, l

Атанасян, № 346, 357Пример 1

а) Высота конуса

15

см, радиус основания

8

см. Найдите образующую. б) Развёртка боковой поверхности конуса — сектор с дугой

\alpha

. Найдите

\alpha

, если высота

4

см, радиус

3

см.

а) $l = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{289} = 17$ см.
б) $l = \sqrt{16 + 9} = 5$ ; $\alpha = \dfrac{360^\circ \cdot r}{l} = \dfrac{360^\circ \cdot 3}{5} = 216^\circ$ .

Ответ: а) $17$ см; б) $216^\circ$

Атанасян, № 364, 367Пример 2

а) Прямоугольный треугольник с катетами

6

8

см вращается вокруг меньшего катета. Найдите площади боковой и полной поверхностей конуса. б) Радиусы оснований усечённого конуса

5

11

см, образующая

10

см. Найдите высоту и площадь осевого сечения.

а) Вокруг катета $6$ : $h = 6$ , $r = 8$ , $l = 10$ . $S_{\text{бок}} = \pi \cdot 8 \cdot 10 = 80\pi$ , $S = 80\pi + 64\pi = 144\pi$ см $^2$ .
б) Осевое сечение — равнобокая трапеция с основаниями $22$ и $10$ , боковой стороной $10$ : $h = \sqrt{100 - 6^2} = 8$ см.
$S = \dfrac{22 + 10}{2} \cdot 8 = 128$ см $^2$ .

Ответ: а) $80\pi$ и $144\pi$ см $^2$ ; б) $8$ см, $128$ см $^2$

ЕГЭ, задание 3Пример 3

Высота конуса равна

6

, образующая равна

10

. Найдите площадь его полной поверхности, делённую на

\pi

$r = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$ .
$S = \pi r(l + r) = \pi \cdot 8 \cdot 18 = 144\pi$ , ответ $144$ .

Ответ: 144

ЕГЭ, задание 3Пример 4

Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах.

$\pi r l = 2\pi r^2$ , значит, $l = 2r$ .
Угол между образующей и основанием — при вершине $A$ треугольника $POA$ : $\cos\varphi = \dfrac{r}{l} = \dfrac12$ , $\varphi = 60^\circ$ .

Ответ: 60

Главное

Конус — вращение прямоугольного треугольника вокруг катета; $l^2 = h^2 + r^2$ .
Осевое сечение — равнобедренный треугольник; сечения, перпендикулярные оси, — круги, их площади как квадраты расстояний от вершины.
$S_{\text{бок}} = \pi rl$ , развёртка — сектор с углом $\dfrac{360^\circ r}{l}$ ; $S_{\text{кон}} = \pi r(l + r)$ .
Усечённый конус: $S_{\text{бок}} = \pi(r + r_1)l$ .

Конус

Все уроки станции «Тела вращения»