Геометрия · 11 класс · урок 3 из 3 · Атанасян, «Геометрия 10–11», гл. IV, § 3

Сфера и шар

Выход к заданиям: ЕГЭ №3, ЕГЭ №15

Сначала нужно знать
Конус
Зачем этот урок
ЕГЭ №3 и №15: сечение шара, касательная плоскость, площадь сферы
Дальше
Объём параллелепипеда, призмы и цилиндра
Тела вращения · урок 3
Сфера и шар
Сечения, касательная плоскость, площадь сферы
Сфера и шар
ARO
  • Сфера — поверхность из всех точек пространства, находящихся на данном расстоянии RR (радиус) от данной точки OO (центр).
  • Радиус — также любой отрезок от центра до точки сферы; отрезок через центр с концами на сфере — диаметр, он равен 2R2R.
  • Сфера получается вращением полуокружности вокруг её диаметра.
  • Шар — тело, ограниченное сферой: все точки на расстоянии не больше RR от центра.
Сфера и плоскость
AMdrROα
r=R2−d2r = \sqrt{R^2 - d^2}
  • dd — расстояние от центра до плоскости, OA⊥αOA \perp \alpha.
  • d<Rd < R: для общей точки MM △OAM\triangle OAM прямоугольный: AM=R2−d2AM = \sqrt{R^2 - d^2}. Сечение сферы — окружность радиуса r=R2−d2r = \sqrt{R^2 - d^2} с центром AA, сечение шара — круг. При d=0d = 0 — большой круг радиуса RR.
  • d=Rd = R: точка AA на сфере, все остальные точки плоскости дальше (наклонная больше перпендикуляра) — одна общая точка.
  • d>Rd > R: общих точек нет.
Касательная плоскость
AOα
  • Плоскость, имеющая со сферой одну общую точку, — касательная, точка — точка касания.
  • Теорема. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости. Доказательство: иначе OAOA — наклонная, расстояние до плоскости меньше RR и сфера пересекает плоскость по окружности.
  • Обратная теорема. Если радиус перпендикулярен плоскости, проходящей через его конец на сфере, плоскость касательная: расстояние от центра равно RR.
  • Касательная прямая — одна общая точка со сферой; радиус в точку касания ей перпендикулярен. Отрезки касательных из одной точки равны.
Площадь сферы
S=4πR2S = 4\pi R^2
  • Сферу нельзя развернуть на плоскость — площадь определяют иначе. Многогранник описан около сферы, если сфера касается всех его граней.
  • Берут описанные многогранники с неограниченно растущим числом граней, у которых наибольший размер грани стремится к нулю; площадь сферы — предел площадей их поверхностей.
  • Этот предел равен 4πR24\pi R^2 (выводится в главе об объёмах): площадь сферы в 44 раза больше площади большого круга.
  • Площадь сферы пропорциональна квадрату радиуса: радиус в kk раз больше — площадь в k2k^2 раз больше.
Атанасян, № 373, 375Пример 1
а) Концы отрезка AB=40AB = 40 см лежат на сфере радиуса 5050 см, MM — середина ABAB. Найдите OMOM. б) Шар радиуса 4141 дм пересечён плоскостью на расстоянии 99 дм от центра. Найдите площадь сечения.
  1. а) △OAB\triangle OAB равнобедренный, медиана OM⊥ABOM \perp AB: OM=502−202=2100=1021OM = \sqrt{50^2 - 20^2} = \sqrt{2100} = 10\sqrt{21} см.
  2. б) r2=412−92=1681−81=1600r^2 = 41^2 - 9^2 = 1681 - 81 = 1600, S=πr2=1600πS = \pi r^2 = 1600\pi дм2^2.
Ответ: а) 102110\sqrt{21} см; б) 1600π1600\pi дм2^2
Атанасян, № 376, 378Пример 2
а) Вершины треугольника со сторонами 66, 88, 1010 см лежат на сфере радиуса 1313 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника. б) Стороны треугольника 10,10,1210, 10, 12 см касаются сферы радиуса 55 см. Найдите расстояние от центра до плоскости треугольника.
  1. а) Сечение сферы плоскостью треугольника — описанная окружность. Треугольник прямоугольный (36+64=10036 + 64 = 100), r=5r = 5. d=169−25=12d = \sqrt{169 - 25} = 12 см.
  2. б) Точки касания со сторонами лежат на окружности сечения, и она касается сторон — это вписанная окружность. S=12⋅12⋅8=48S = \dfrac12 \cdot 12 \cdot 8 = 48, p=16p = 16, r=Sp=3r = \dfrac{S}{p} = 3.
  3. d=25−9=4d = \sqrt{25 - 9} = 4 см.
Ответ: а) 1212 см; б) 44 см
ЕГЭ, задание 3Пример 3
Площадь большого круга шара равна 33. Найдите площадь поверхности шара.
  1. Большой круг — сечение через центр, его площадь πR2=3\pi R^2 = 3.
  2. S=4πR2=4⋅3=12S = 4\pi R^2 = 4 \cdot 3 = 12.
Ответ: 12
ЕГЭ, задание 3Пример 4
Радиусы двух шаров равны 66 и 88. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей поверхностей двух данных шаров.
  1. 4πR2=4π⋅62+4π⋅824\pi R^2 = 4\pi \cdot 6^2 + 4\pi \cdot 8^2, то есть R2=36+64=100R^2 = 36 + 64 = 100.
  2. R=10R = 10.
Ответ: 10
Главное
  • Сфера — точки на расстоянии RR от центра; шар — на расстоянии не больше RR.
  • Сечение плоскостью на расстоянии d<Rd < R — окружность радиуса R2−d2\sqrt{R^2 - d^2}; d=Rd = R — касание; d>Rd > R — общих точек нет.
  • Радиус в точку касания перпендикулярен касательной плоскости.
  • S=4πR2S = 4\pi R^2 — четыре площади большого круга.

Все уроки станции «Тела вращения»

  1. Цилиндр
  2. Конус
  3. Сфера и шар