Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация

Среди действительных чисел нет числа, квадрат которого равен $-1$; квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом не имеет действительных корней. Чтобы такие задачи стали разрешимыми, вводят комплексные числа — так же, как раньше отрицательные числа сделали разрешимым уравнение $x + 3 = 2$.

Определение. Пусть $a$, $b$ — действительные числа, $i$ — специальный знак. Множество комплексных чисел — множество выражений $a + bi$, подчинённых правилам:

• а) $a + bi = c + di$ тогда и только тогда, когда $a = c$ и $b = d$;
• б) сумма: $(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$; $\$ в) произведение: $(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$;
• г) $a + 0i$ отождествляют с действительным числом $a$, в частности $0 + 0i = 0$; $\$ д) $0 + bi = bi$, в частности $0 + 1i = i$.
• $(3 + 2i) + (-1 + 3i) = 2 + 5i$; $\ (3 + 2i)(-1 + 3i) = (-3 - 6) + (9 - 2)i = -9 + 7i$; $\ (-1 + 5i)(-1 - 5i) = 26$.

• $i$ — мнимая единица, и $i^2 = -1$: $\ i^2 = (0 + 1i)(0 + 1i) = (0\cdot 0 - 1\cdot 1) + (0\cdot 1 + 1\cdot 0)i = -1$.
• Числа $bi$ — мнимые; $bi$ есть произведение $b$ и $i$: $(b + 0i)(0 + 1i) = 0 + bi$. Любое $a + bi$ — сумма действительного числа $a$ и мнимого числа $bi$.
• $z = a + bi$ — алгебраическая форма числа $z$; $a = \operatorname{Re} z$ — действительная часть, $b = \operatorname{Im} z$ — мнимая часть.
• Сумма и произведение нескольких чисел — по шагам; $z^n = \underbrace{z\cdot z\cdot\ldots\cdot z}_{n}$, $z^1 = z$, $z^0 = 1$ при $z \ne 0$. Степени $i$ повторяются с периодом 4: $i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$, $i^5 = i$.

• Разность $z_1 - z_2$ — число $z_3 = x + yi$, которое в сумме с $z_2$ даёт $z_1$. Из $(a_2 + x) + (b_2 + y)i = a_1 + b_1i$ по правилу равенства $x = a_1 - a_2$, $y = b_1 - b_2$: разность существует и единственна, $z_1 - z_2 = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)i$.
• Частное $\dfrac{z_1}{z_2}$ ($z_2 \ne 0$) — число, которое при умножении на $z_2$ даёт $z_1$. Оно существует, единственно, и его находят, умножая числитель и знаменатель на $a_2 - b_2i$:
• $\dfrac{a_1 + b_1i}{a_2 + b_2i} = \dfrac{(a_1 + b_1i)(a_2 - b_2i)}{(a_2 + b_2i)(a_2 - b_2i)} = \dfrac{a_1a_2 + b_1b_2}{a_2^2 + b_2^2} + \dfrac{a_2b_1 - a_1b_2}{a_2^2 + b_2^2}\,i$. Пример: $\dfrac{1 + 2i}{3 + 4i} = \dfrac{11}{25} + \dfrac{2}{25}i$.
• Противоположное к $z = a + bi$: $-z = -a - bi$; обратное: $\dfrac1z = \dfrac{a}{a^2 + b^2} - \dfrac{b}{a^2 + b^2}i$. Сумма, разность, произведение и частное комплексных чисел — комплексные числа.

• Для комплексных чисел верны переместительный, сочетательный и распределительный законы. Поэтому все тождества для действительных чисел (формулы сокращённого умножения и др.) верны и для комплексных.
• Действия выполняют как с многочленами от $i$, заменяя $i^2$ на $-1$ и собирая члены с $i$ и без $i$.
• $(2 + 3i)^2 = 4 + 12i + 9i^2 = -5 + 12i$; $\ (5 + 3i)(5 - 3i) = 25 - 9i^2 = 34$.
• $x^2 + 1 = (x + i)(x - i)$: в комплексных числах сумма квадратов раскладывается на множители.

1. а) Раскрываем скобки: $3 + 15i + 2i + 10i^2 = 3 - 10 + 17i = -7 + 17i$.
2. б) Умножим делимое и делитель на $1 - 5i$: $\dfrac{(3 + 2i)(1 - 5i)}{(1 + 5i)(1 - 5i)} = \dfrac{3 - 15i + 2i - 10i^2}{1 + 25} = \dfrac{13 - 13i}{26}$.
3. Проверка б): $(0{,}5 - 0{,}5i)(1 + 5i) = 0{,}5 + 2{,}5i - 0{,}5i + 2{,}5 = 3 + 2i$.

1. $z = x + yi$: $\ z^2 = x^2 - y^2 + 2xyi$. По правилу равенства: $x^2 - y^2 = -15$, $2xy = 8$.
2. $y = \dfrac4x$: $x^2 - \dfrac{16}{x^2} = -15$, $x^4 + 15x^2 - 16 = 0$, $x^2 = 1$ ($x^2 = -16$ невозможно для действительного $x$).
3. $x = 1$, $y = 4$ или $x = -1$, $y = -4$. Условию $\operatorname{Im} z > 0$ отвечает первое. Проверка: $(1 + 4i)^2 = 1 + 8i - 16 = -15 + 8i$.

Число $\bar z = a - bi$ называют сопряжённым с $z = a + bi$. Так как $\bar{\bar z} = z$, числа $z$ и $\bar z$ — взаимно сопряжённые.

• $z = \bar z$ тогда и только тогда, когда $z$ — действительное число: из $a + bi = a - bi$ следует $b = 0$.
• 1) $z + \bar z = 2a$ и $z\bar z = a^2 + b^2$ — действительные числа. 2)–5) $\overline{z_1 \pm z_2} = \bar z_1 \pm \bar z_2$, $\ \overline{z_1z_2} = \bar z_1\bar z_2$, $\ \overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \dfrac{\bar z_1}{\bar z_2}$. 6) $\overline{z^n} = (\bar z)^n$.
• Следствие: если $z$ выражено через $\alpha$ суммами, разностями и произведениями натуральных степеней, то, заменив $\alpha$ на $\bar\alpha$, получим $\bar z$.
• Сопряжённое используют при делении: $\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{z_1\bar z_2}{z_2\bar z_2}$, а $z_2\bar z_2$ — положительное действительное число.

1. $z = x + yi$: $\ x^2 - y^2 + 2xyi + 2x - 2yi + 1 = 0$. Действительная и мнимая части равны нулю: $x^2 - y^2 + 2x + 1 = 0$, $2y(x - 1) = 0$.
2. $y = 0$: $(x + 1)^2 = 0$, $x = -1$ — число $z = -1$.
3. $x = 1$: $4 - y^2 = 0$, $y = \pm 2$ — числа $1 + 2i$ и $1 - 2i$.
4. Проверка $z = 1 + 2i$: $z^2 = -3 + 4i$, $2\bar z = 2 - 4i$, сумма с единицей $0$.

1. $|z|$ — расстояние от точки $z$ до начала координат $O$.
2. а) Точки на расстоянии $1$ от $O$ — окружность радиуса $1$ с центром $O$.
3. б) Расстояние не меньше $2$ и меньше $3$ — кольцо между окружностями радиусов $2$ и $3$ с центром $O$; окружность радиуса $2$ входит, радиуса $3$ — нет.

Уравнения и неравенства с модулем комплексного числа читаются как расстояния: $|z - z_0| = R$ — окружность с центром $z_0$ радиуса $R$, $|z - z_0| \le R$ — круг.

1. $|z - i|$ — расстояние от $z$ до точки $i$, то есть $(0;\ 1)$; $|z + 2| = |z - (-2)|$ — до точки $(-2;\ 0)$.
2. Точки, равноудалённые от двух точек, — серединный перпендикуляр к отрезку между ними.
3. Середина отрезка $(-1;\ 0{,}5)$, угловой коэффициент отрезка $\dfrac12$, перпендикуляра $-2$: $y - 0{,}5 = -2(x + 1)$.

• $z = a + bi$, $i^2 = -1$; $\operatorname{Re} z = a$, $\operatorname{Im} z = b$; числа равны, если равны действительные и мнимые части.
• Действия — как с многочленами, $i^2$ заменяем на $-1$; деление — умножением на сопряжённое к знаменателю.
• $\bar z = a - bi$; $z\bar z = |z|^2 = a^2 + b^2$; сопряжённое к сумме, произведению, частному — сумма, произведение, частное сопряжённых.
• $z$ — точка $(a;\ b)$ и вектор; $|z|$ — расстояние до $O$, $|z_1 - z_2|$ — расстояние между точками.
• Сложение комплексных чисел — сложение векторов по правилу параллелограмма.