Корни многочленов. Показательная форма

Многочлен $P_n(x) = a_nx^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + \ldots + a_1x + a_0$ ($a_n \ne 0$, коэффициенты действительные). Действительное или комплексное число $\alpha$ — корень многочлена, если $P_n(\alpha) = 0$.

• $x - 1$ имеет корень $1$; $x^2 + 1$ — два комплексных корня $\pm i$; $x^3 + x = x(x + i)(x - i)$ — корни $0$, $i$, $-i$.
• Теорема 1 (основная теорема алгебры). Любой многочлен степени $n \ge 1$ имеет хотя бы один корень (действительный или комплексный). Верна и для комплексных коэффициентов; доказательство выходит за рамки школьного курса.
• Если $P_n(x) = a_n(x - \alpha_1)^{k_1}(x - \alpha_2)^{k_2}\ldots(x - \alpha_m)^{k_m}$, $k_1 + \ldots + k_m = n$, $\alpha_j$ различны, то $\alpha_j$ — корень кратности $k_j$.
• Теорема 2. Многочлен степени $n$ имеет ровно $n$ корней, если каждый считать столько раз, какова его кратность. $x^4 + x^2 = x^2(x - i)(x + i)$: корень $0$ кратности 2 и корни $\pm i$.

$x^2 + px + q = \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 - \dfrac{D}{4}$, где $\dfrac{D}{4} = \dfrac{p^2}{4} - q$. Если $\dfrac{D}{4} < 0$, то $\dfrac{D}{4} = \left(i\sqrt{-\frac{D}{4}}\right)^2$, и трёхчлен — разность квадратов.

• 1) $\frac{D}{4} > 0$: $x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{D}{4}}$ — два различных действительных корня.
• 2) $\frac{D}{4} < 0$: $x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm i\sqrt{-\frac{D}{4}}$ — два различных сопряжённых комплексных корня.
• 3) $\frac{D}{4} = 0$: $x_1 = x_2 = -\frac{p}{2}$ — действительный корень кратности 2.
• Итак, квадратный трёхчлен всегда имеет два корня с учётом кратности. $x^2 + x + 1$: $\frac{D}{4} = \frac14 - 1 = -\frac34$, корни $-\frac12 \pm \frac{\sqrt3}{2}i$.

Теорема 3. Если многочлен с действительными коэффициентами имеет комплексный корень $a + bi$ ($b \ne 0$), то он имеет и корень $a - bi$.

• Доказательство. $P_n(z_0) = a_nz_0^n + \ldots + a_1z_0 + a_0 = 0$. Возьмём сопряжённые от обеих частей: $\overline{P_n(z_0)} = 0$.
• Сопряжённое к сумме — сумма сопряжённых, к произведению — произведение; для действительного $a_j$: $\overline{a_jz_0^j} = a_j(\bar z_0)^j$. Значит, $\overline{P_n(z_0)} = P_n(\bar z_0) = 0$.
• Следствия. Комплексные корни идут парами, поэтому уравнение $P_n(x) = 0$ нечётной степени имеет хотя бы один действительный корень (их нечётное число), а чётной степени — чётное число действительных корней или ни одного.

1. По теореме 3 у многочлена третьей степени есть действительный корень. Если он рациональный, то целый и делит $-4$. Проверкой: $P_3(1) = 1 + 1 + 2 - 4 = 0$.
2. Делим на $x - 1$: $P_3(x) = (x - 1)(x^2 + 2x + 4)$.
3. $x^2 + 2x + 4$: $\frac{D}{4} = 1 - 4 = -3$, корни $-1 \pm \sqrt3 i$.

1. а) $\frac{D}{4} = 1 - 5 = -4$: $x = 1 \pm 2i$.
2. б) Сумма коэффициентов с чередованием знаков $-1 + 5 - 17 + 13 = 0$, значит, $x = -1$ — корень. $x^3 + 5x^2 + 17x + 13 = (x + 1)(x^2 + 4x + 13)$.
3. $x^2 + 4x + 13$: $\frac{D}{4} = 4 - 13 = -9$, корни $-2 \pm 3i$. Проверка: $(-2 + 3i)^2 + 4(-2 + 3i) + 13 = -5 - 12i - 8 + 12i + 13 = 0$.

Определение. Для комплексного $\alpha + \beta i$: $\ e^{\alpha + \beta i} = e^{\alpha}(\cos\beta + i\sin\beta)$. При $\alpha = 0$ получается формула Эйлера: $\ e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi$.

• Почему так. Разложения в ряд Тейлора: $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \ldots$, $\ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \ldots$, $\ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots$
• Подставим формально $ix$ в ряд для $e^x$: $e^{ix} = 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - i\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \ldots$ — действительная часть совпадает с рядом косинуса, мнимая — с рядом синуса.
• Частный случай: $e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi = -1$.

Если $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) \ne 0$, то по формуле Эйлера $z = re^{i\varphi}$ — показательная форма числа $z$.

• Пример. $z = 3 + 4i$: $|z| = 5$, $z = 5\left(\frac35 + \frac45 i\right) = 5e^{i\alpha}$, где $\cos\alpha = \frac35$, $\sin\alpha = \frac45$. Угол первой четверти: $\alpha = \arccos\frac35$.
• $z_1z_2 = r_1r_2e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}$; $\ \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2}e^{i(\varphi_1 - \varphi_2)}$; $\ z^n = r^ne^{in\varphi}$, $n \in \mathbb{Z}$ — привычные правила действий со степенями.
• Запись компактна, поэтому показательная форма особенно распространена в физике: колебания, переменный ток, волны.

1. а) $2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right) = 2\left(\frac12 + \frac{\sqrt3}{2}i\right) = 1 + \sqrt3 i$.
2. б) Модули перемножаются, показатели складываются: $2e^{i\left(\frac{\pi}{5} + \frac{4\pi}{5}\right)} = 2e^{i\pi} = -2$.
3. в) $12e^{i\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}\right)} = 12e^{\frac{7i\pi}{12}}$.

• Определение $e^{x + yi} = e^x(\cos y + i\sin y)$ задаёт функцию $f(z) = e^z$ комплексного аргумента. При $y = 0$ это обычная показательная функция $e^x$.
• $e^z$ периодическая с периодом $2\pi i$: $e^{z + 2\pi i} = e^x(\cos(y + 2\pi) + i\sin(y + 2\pi)) = e^z$.
• Комплексные числа ввёл Дж. Кардано в XVI в. при решении кубических уравнений («софистические» числа); название «мнимые» — Р. Декарт (1637); первые правила действий — Р. Бомбелли (1572).
• Л. Эйлер развил теорию комплексных чисел; термин «комплексное число» предложил К. Ф. Гаусс (1831). Декарт впервые сформулировал утверждение о числе корней уравнения $n$-й степени.

• Основная теорема алгебры: многочлен степени $n \ge 1$ имеет корень; с учётом кратности корней ровно $n$.
• Квадратный трёхчлен с $D < 0$ имеет два сопряжённых корня $-\frac{p}{2} \pm i\sqrt{-\frac{D}{4}}$.
• У многочлена с действительными коэффициентами комплексные корни идут сопряжёнными парами; многочлен нечётной степени имеет действительный корень.
• $e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi$, $e^{i\pi} = -1$; $z = re^{i\varphi}$ — показательная форма; умножение — сложение показателей.