Тригонометрическая форма

Если $r = |z|$, $\varphi$ — один из аргументов, то $a = r\cos\varphi$, $b = r\sin\varphi$, и $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ — тригонометрическая форма числа $z \ne 0$.

• Требования: $r > 0$ — модуль; косинус и синус — одного и того же угла; между $\cos\varphi$ и $i\sin\varphi$ — знак «плюс». Пример: $3\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right)$.
• $-2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)$ — не тригонометрическая форма ($r < 0$). Правильно: $2\left(\cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3}\right)$.
• $\sin\frac{\pi}{6} + i\cos\frac{\pi}{6} = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}$; $\ \cos\frac{\pi}{4} - i\sin\frac{\pi}{4} = \cos\frac{7\pi}{4} + i\sin\frac{7\pi}{4}$.
• В тригонометрической форме удобно умножать, делить и возводить в степень.

1. а) $r = 2$, точка $(-2;\ 0)$ на отрицательной полуоси: $\varphi_0 = \pi$, $-2 = 2(\cos\pi + i\sin\pi)$.
2. б) $r = \sqrt2$, $\cos\varphi = \sin\varphi = \frac{1}{\sqrt2}$: $\varphi_0 = \frac{\pi}{4}$, $1 + i = \sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)$.
3. в) $r = \sqrt{3 + 1} = 2$, $\cos\varphi = -\frac{\sqrt3}{2}$, $\sin\varphi = \frac12$ — вторая четверть: $\varphi_0 = \frac{5\pi}{6}$.

Теорема 1. Если $z_1 = r_1(\cos\varphi_1 + i\sin\varphi_1)$, $z_2 = r_2(\cos\varphi_2 + i\sin\varphi_2)$, то $z_1z_2 = r_1r_2(\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 + \varphi_2))$ и $\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2}(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 - \varphi_2))$.

• Доказательство. $z_1z_2 = r_1r_2\left((\cos\varphi_1\cos\varphi_2 - \sin\varphi_1\sin\varphi_2) + (\sin\varphi_1\cos\varphi_2 + \cos\varphi_1\sin\varphi_2)i\right)$ — в скобках косинус и синус суммы.
• Для частного числитель и знаменатель умножают на $\cos\varphi_2 - i\sin\varphi_2$: в знаменателе $r_2(\cos^2\varphi_2 + \sin^2\varphi_2) = r_2$.
• При умножении модули перемножаются, аргументы складываются; при делении модули делятся, аргументы вычитаются. Умножение на $z_2$ — поворот вектора на $\varphi_2$ и растяжение в $r_2$ раз.

Теорема 2. Для любого $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) \ne 0$ и любого целого $n$: $\ z^n = r^n(\cos n\varphi + i\sin n\varphi)$.

• Доказательство. 1) Натуральные $n$ — индукцией. При $n = 1$ верно. Если $z^k = r^k(\cos k\varphi + i\sin k\varphi)$, то по теореме 1 $z^{k + 1} = z^k z = r^{k + 1}(\cos(k + 1)\varphi + i\sin(k + 1)\varphi)$.
• 2) $n = 0$: $z^0 = 1 = r^0(\cos 0 + i\sin 0)$. $\$ 3) $n = -1$: $z^{-1} = \dfrac{\cos 0 + i\sin 0}{r(\cos\varphi + i\sin\varphi)} = r^{-1}(\cos(-\varphi) + i\sin(-\varphi))$ по теореме 1.
• 4) $n = -m$, $m \in \mathbb{N}$: $z^n = \left(z^{-1}\right)^m = r^{-m}(\cos(-m\varphi) + i\sin(-m\varphi))$ по пунктам 3 и 1. Теорема доказана.

1. $1 + i = \sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)$.
2. По формуле Муавра $(1 + i)^7 = (\sqrt2)^7\left(\cos\frac{7\pi}{4} + i\sin\frac{7\pi}{4}\right) = 8\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2} - \frac{\sqrt2}{2}i\right)$.

1. По формуле Муавра $(\cos x + i\sin x)^3 = \cos 3x + i\sin 3x$.
2. По формуле куба суммы $(\cos x + i\sin x)^3 = (\cos^3 x - 3\cos x\sin^2 x) + i(3\cos^2 x\sin x - \sin^3 x)$.
3. Комплексные числа равны — равны действительные и мнимые части: $\cos 3x = \cos^3 x - 3\cos x\sin^2 x$, $\sin 3x = 3\cos^2 x\sin x - \sin^3 x$.
4. С основным тождеством: $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$, $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$.

1. $1 \pm \sqrt3 i = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} \pm i\sin\frac{\pi}{3}\right)$, второе число — $2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)$.
2. По формуле Муавра слагаемые равны $2^7\left(\cos\frac{7\pi}{3} \pm i\sin\frac{7\pi}{3}\right)$ — сопряжённые числа; мнимые части сокращаются.
3. Сумма $2\cdot 128\cos\frac{7\pi}{3} = 256\cos\frac{\pi}{3} = 128$.

Теорема. Для любого $z \ne 0$ и натурального $n \ge 2$ существует ровно $n$ различных чисел $\alpha$ с $\alpha^n = z$ — корней степени $n$ из $z$. Если $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, то $\alpha_k = \sqrt[n]{r}\left(\cos\dfrac{\varphi + 2\pi k}{n} + i\sin\dfrac{\varphi + 2\pi k}{n}\right)$, $k = 0, 1, \ldots, n - 1$.

• Доказательство. Ищем $\alpha = \rho(\cos\psi + i\sin\psi)$. По формуле Муавра $\alpha^n = \rho^n(\cos n\psi + i\sin n\psi) = z$. Модули равны: $\rho^n = r$, $\rho = \sqrt[n]{r}$ (арифметический корень: $\rho, r > 0$).
• $\cos n\psi = \cos\varphi$ и $\sin n\psi = \sin\varphi$ одновременно ⇔ $n\psi = \varphi + 2\pi k$, $\psi = \dfrac{\varphi + 2\pi k}{n}$, $k \in \mathbb{Z}$.
• При $k = n$ получается снова $\alpha_0$ (угол больше на $2\pi$), при $k = n + 1$ — $\alpha_1$ и т. д. Различных корней ровно $n$: $\alpha_0, \ldots, \alpha_{n - 1}$.

1. $r = \sqrt{3 + 1} = 2$, $\cos\varphi = \frac{\sqrt3}{2}$, $\sin\varphi = \frac12$: $\varphi = \frac{\pi}{6}$.
2. $\alpha_k = \sqrt[3]{2}\left(\cos\dfrac{\frac{\pi}{6} + 2\pi k}{3} + i\sin\dfrac{\frac{\pi}{6} + 2\pi k}{3}\right)$, $k = 0, 1, 2$.
3. Углы $\frac{\pi}{18}$, $\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi}{3} = \frac{13\pi}{18}$, $\frac{\pi}{18} + \frac{4\pi}{3} = \frac{25\pi}{18}$.

• $\alpha^n = 1$: $r = 1$, $\varphi = 0$, $\alpha_k = \cos\dfrac{2\pi k}{n} + i\sin\dfrac{2\pi k}{n}$. При $n = 3$: $1$, $-\frac12 \pm \frac{\sqrt3}{2}i$; при $n = 4$: $1$, $i$, $-1$, $-i$. Точки $\alpha_0, \ldots, \alpha_{n - 1}$ — вершины правильного $n$-угольника, вписанного в единичную окружность, одна вершина — $1$.
• При чётном $n = 2m$ действительных корней два: $1$ и $-1$; при нечётном — один: $1$.
• $\alpha^n = -1$: $\varphi = \pi$, $\alpha_k = \cos\dfrac{\pi + 2\pi k}{n} + i\sin\dfrac{\pi + 2\pi k}{n}$ — тоже правильный $n$-угольник. При $n = 4$: $\pm\frac{\sqrt2}{2} \pm \frac{\sqrt2}{2}i$. При чётном $n$ действительных корней нет, при нечётном один: $-1$.

1. $-1 = \cos\pi + i\sin\pi$: $r = 1$, $\varphi = \pi$.
2. $\alpha_k = \cos\dfrac{\pi + 2\pi k}{3} + i\sin\dfrac{\pi + 2\pi k}{3}$: углы $\frac{\pi}{3}$, $\pi$, $\frac{5\pi}{3}$.
3. $\alpha_0 = \frac12 + \frac{\sqrt3}{2}i$, $\alpha_1 = -1$, $\alpha_2 = \frac12 - \frac{\sqrt3}{2}i$. Проверка: $\left(\frac12 + \frac{\sqrt3}{2}i\right)^3 = \cos\pi + i\sin\pi = -1$.

• Для $a > 0$ все корни степени $n$: $b_k = \sqrt[n]{|a|}\left(\cos\dfrac{2\pi k}{n} + i\sin\dfrac{2\pi k}{n}\right)$. При чётном $n = 2m$ действительных среди них два: $\sqrt[n]{a}$ и $-\sqrt[n]{a}$.
• $a > 0$, $n$ нечётное: действительный корень один — $\sqrt[n]{a}$.
• $a < 0$, $n$ нечётное: один действительный корень $-\sqrt[n]{|a|}$; $\ a < 0$, $n$ чётное: действительных корней нет.
• Так в комплексных числах объясняются правила корней из курса алгебры: остальные корни — комплексные.

• $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$: $r = |z|$, $\varphi$ — аргумент, $\cos\varphi = \frac{a}{r}$, $\sin\varphi = \frac{b}{r}$; главный аргумент — в $[0;\ 2\pi)$.
• При умножении модули перемножаются, аргументы складываются; при делении — делятся и вычитаются.
• Формула Муавра: $(r(\cos\varphi + i\sin\varphi))^n = r^n(\cos n\varphi + i\sin n\varphi)$, $n \in \mathbb{Z}$.
• Корней степени $n$ из $z \ne 0$ ровно $n$: $\sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i\sin\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right)$; на плоскости — правильный $n$-угольник.