Функции · 6 класс · урок 1 из 2 · Никольский, «Математика 6», п. 5.8–5.10, п. 5.8–5.9

Координатная ось и плоскость

Выход к заданиям: ОГЭ №1, ОГЭ №2, ОГЭ №3, ОГЭ №4, ОГЭ №5, ОГЭ №7

Сначала нужно знать: Рациональные числа на координатной оси
Зачем этот урок: ОГЭ: координаты точек на прямой и на плоскости; основа графиков функций
Дальше: Столбчатые диаграммы и графики

Координатная плоскость · урок 1

Координатная плоскость

Ось, абсцисса и ордината, четверти

Координатная ось

Прямую, на которой выбраны начальная точка $O$ , положительное направление и единичный отрезок, называют координатной осью. Обычно её рисуют горизонтально, направлением вправо, но ось может быть и вертикальной.

Точке $O$ соответствует число $0$ . Точке $A$ на положительном луче — число $x = OA$ , на отрицательном — $x = -OA$ . Это число — координата точки; ось называют осью $x$ (или $y$ , $t$ …).

Каждой точке оси соответствует действительное число, разным точкам — разные числа, и каждое число — координата некоторой точки: взаимно однозначное соответствие. Теперь ось «не дырявая» — на ней есть и иррациональные точки.

Декартова система координат

Две оси под прямым углом с общей начальной точкой $O$ и равными единичными отрезками задают прямоугольную (декартову) систему координат $xOy$ — по имени Р. Декарта (1596–1650).

Ось $x$ — ось абсцисс (горизонтальная, вправо), ось $y$ — ось ординат (вертикальная, вверх). Плоскость с системой координат — координатная плоскость.

Через точку $A$ проводят прямые, параллельные осям. Координата пересечения с осью $x$ — абсцисса точки, с осью $y$ — ордината. Пишут $A(x; y)$ : на первом месте абсцисса. На рисунке $A(4; 3)$ .

Точки на плоскости

Рис. 118 (с. 214): $O(0; 0)$ , $A(2; 3)$ , $B(-1; 1)$ , $C(-3; -2)$ , $D(1; 0)$ , $E(2; -2)$ , $F(0; 4)$ .

Чтобы построить точку $(x; y)$ , от начала отсчёта идут на $x$ по оси абсцисс (вправо при $x > 0$ , влево при $x < 0$ ), затем на $y$ параллельно оси ординат (вверх или вниз).

Пара $(x; y)$ — упорядоченная: $(2; 3)$ и $(3; 2)$ — разные точки.

Координатные четверти

Четверть	I	II	III	IV
$x$	$> 0$	$< 0$	$< 0$	$> 0$
$y$	$> 0$	$> 0$	$< 0$	$< 0$

Оси делят плоскость на четыре координатных угла (четверти), их нумеруют против часовой стрелки: I, II, III, IV.

Абсцисса равна нулю тогда и только тогда, когда точка лежит на оси $y$ ; ордината равна нулю — когда точка на оси $x$ . У начала координат обе координаты нули.

Никольский, Математика 6, п. 5.9Пример 1

В каких координатных четвертях лежат точки

M(-3; 5)

N(4; -1)

K(-2; -7)

L(0; -3)

? В каких четвертях лежат все точки с положительной абсциссой?

$M$ : $x < 0$ , $y > 0$ — II. $N$ : $x > 0$ , $y < 0$ — IV. $K$ : обе отрицательны — III.
$L(0; -3)$ : абсцисса $0$ — точка на оси $y$ , ни в одной четверти.
Положительная абсцисса — правее оси $y$ : четверти I и IV (и положительная полуось $x$ ).

Ответ: II, IV, III; $L$ на оси $y$ ; I и IV

Никольский, Математика 6, п. 5.9Пример 2

Постройте точки

(2; 1)

(2; 5)

(6; 5)

(5; 4)

(6; 3)

(2; 3)

. Соедините первую точку со второй, вторую с третьей и т. д. Какая фигура получилась?

Отрезок от $(2; 1)$ до $(2; 5)$ — вертикальный: это «древко» (абсциссы одинаковы).
$(2; 5) \to (6; 5) \to (5; 4) \to (6; 3) \to (2; 3)$ — полотнище с вырезом справа.
Получился флажок на древке.

Ответ: флажок

Никольский, Математика 6, п. 5.9Пример 3

Постройте отрезки

AB

CD

, если

A(-3; 4)

B(2; -1)

C(-2; 0)

D(4; 3)

. Найдите координаты точки пересечения отрезков.

По клеткам: от $A$ к $B$ на каждую клетку вправо — клетка вниз; от $C$ к $D$ на две клетки вправо — клетка вверх.
Идём от $C(-2; 0)$ : $(0; 1)$ , $(2; 2)$ … По $AB$ : $(-1; 2)$ , $(0; 1)$ — точка $(0; 1)$ есть на обоих отрезках.
Пересечение — точка $(0; 1)$ , она лежит на оси ординат.

Ответ: $(0; 1)$

Главное

Координатная ось: начальная точка, направление, единичный отрезок; точки оси ↔ действительные числа.
Декартова система $xOy$ : абсцисса — по горизонтали, ордината — по вертикали; запись $A(x; y)$ .
Знаки координат определяют четверть; на осях одна из координат — нуль.
Пара координат упорядочена: $(a; b) \ne (b; a)$ при $a \ne b$ .

Координатная ось и плоскость

Все уроки станции «Координатная плоскость»