Выражения · 7 класс · урок 1 из 4 · Никольский, «Алгебра 7», § 6, п. 6.1–6.2

Квадрат суммы и квадрат разности

Выход к заданиям: ОГЭ №8

Сначала нужно знать: Умножение многочленов
Зачем этот урок: ОГЭ №8, №9 и №20: раскрыть (a ± b)² — первый шаг во множестве задач
Дальше: Выделение полного квадрата

Формулы сокращённого умножения · урок 1

(a ± b)² = a² ± 2ab + b²

Квадрат суммы

По определению $(a + b)^2 = (a + b)(a + b)$ . Умножаем многочлен на многочлен: $a \cdot a + b \cdot a + a \cdot b + b \cdot b = a^2 + 2ab + b^2$ .

Это формула квадрата суммы. Буквы $a$ и $b$ — любые числа или выражения, поэтому её читают так: квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого и второго плюс квадрат второго.

Справа налево формула раскладывает трёхчлен на множители: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)(a + b)$ .

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Квадрат суммы на площадях

При $a > 0$ , $b > 0$ формулу видно на рисунке. Квадрат со стороной $a + b$ разрезан на квадрат $a^2$ , квадрат $b^2$ и два одинаковых прямоугольника $a \times b$ .

Отсюда главная ошибка: $(a + b)^2 \ne a^2 + b^2$ — без двух прямоугольников $2ab$ квадрат не сложится. Проверка числами: $(1 + 2)^2 = 9$ , а $1^2 + 2^2 = 5$ .

Квадрат разности

$(a - b)(a - b) = a^2 - ab - ab + b^2$ . Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого минус удвоенное произведение первого и второго плюс квадрат второго.

Её можно получить и из квадрата суммы, заменив $b$ на $-b$ : $(a + (-b))^2 = a^2 + 2a(-b) + (-b)^2$ .

На рисунке: из $a^2$ вырезали две полосы $ab$ ; уголок $b^2$ вырезали дважды — его возвращаем. Остался квадрат $(a - b)^2$ .

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Формулы упрощают вычисления

$51^2 = (50 + 1)^2 = 2500 + 100 + 1 = 2601$ ; $\ 49^2 = (50 - 1)^2 = 2500 - 100 + 1 = 2401$ .
$37^2 + 2 \cdot 37 \cdot 63 + 63^2 = (37 + 63)^2 = 100^2 = 10\,000$ — формула справа налево.
$29^2 - 2 \cdot 29 \cdot 9 + 9^2 = (29 - 9)^2 = 400$ .
Число, оканчивающееся на $5$ : $(10a + 5)^2 = 100a^2 + 100a + 25 = 100a(a + 1) + 25$ . Значит, к $a(a + 1)$ приписываем $25$ : $\ 35^2 = 1225$ ( $3 \cdot 4 = 12$ ), $\ 85^2 = 7225$ .

Никольский, № 339, 340, 353Пример 1

Преобразуйте в многочлен стандартного вида: а)

(2m + 5n)^2

; б)

(ab + c)^2

; в)

(2m - n^2)^2

Первое число — всё выражение до знака, второе — после; квадраты и удвоенное произведение считаем отдельно.
а) $(2m)^2 + 2 \cdot 2m \cdot 5n + (5n)^2 = 4m^2 + 20mn + 25n^2$ .
б) $(ab)^2 + 2 \cdot ab \cdot c + c^2 = a^2b^2 + 2abc + c^2$ .
в) $(2m)^2 - 2 \cdot 2m \cdot n^2 + (n^2)^2 = 4m^2 - 4mn^2 + n^4$ .

Ответ: $4m^2 + 20mn + 25n^2$ ; $\ a^2b^2 + 2abc + c^2$ ; $\ 4m^2 - 4mn^2 + n^4$

Никольский, № 345, 357Пример 2

Представьте в виде квадрата двучлена: а)

16p^2 + 40pq + 25q^2

; б)

16p^2 - 56pq + 49q^2

; в)

100a^2 + 25b^2 - 100ab

Ищем два квадрата и проверяем, равен ли третий член их удвоенному произведению.
а) $16p^2 = (4p)^2$ , $\ 25q^2 = (5q)^2$ , $\ 2 \cdot 4p \cdot 5q = 40pq$ — совпало: $(4p + 5q)^2$ .
б) $(4p)^2$ , $(7q)^2$ , $2 \cdot 4p \cdot 7q = 56pq$ со знаком минус: $(4p - 7q)^2$ .
в) Переставим: $100a^2 - 100ab + 25b^2$ ; $(10a)^2$ , $(5b)^2$ , $2 \cdot 10a \cdot 5b = 100ab$ : $(10a - 5b)^2$ .

Ответ: $(4p + 5q)^2$ ; $\ (4p - 7q)^2$ ; $\ (10a - 5b)^2$

Никольский, № 358, 360Пример 3

а) Докажите тождества

(a - b)^2 = (b - a)^2

(-a - b)^2 = (a + b)^2

. б) Упростите

(m + n)^2 + (m - n)^2

а) $b - a = -(a - b)$ , а квадраты противоположных чисел равны: $(-x)^2 = x^2$ . Так же $-a - b = -(a + b)$ .
Поэтому в квадрате разности порядок не важен: $(x - 5)^2 = (5 - x)^2$ .
б) $m^2 + 2mn + n^2 + m^2 - 2mn + n^2 = 2m^2 + 2n^2$ — удвоенные произведения сократились.

Ответ: б) $2m^2 + 2n^2$

ОГЭ, без номераПример 4

Упростите выражение

(2 - c)^2 - c(c + 4)

и найдите его значение при

c = 0{,}5

$(2 - c)^2 = 4 - 4c + c^2$ ; $\ c(c + 4) = c^2 + 4c$ .
$4 - 4c + c^2 - c^2 - 4c = 4 - 8c$ .
При $c = 0{,}5$ : $\ 4 - 4 = 0$ .

Ответ: 0

ОГЭ, задание 9Пример 5

Решите уравнение

(x - 4)^2 + (x + 9)^2 = 2x^2

Раскрываем квадраты: $x^2 - 8x + 16 + x^2 + 18x + 81 = 2x^2$ .
$x^2$ сокращаются: $10x + 97 = 0$ — уравнение стало линейным.
$x = -9{,}7$ .

Ответ: −9,7

Приближённые вычисления

$(1 + x)^2 = 1 + 2x + x^2$ . Если $x$ близко к нулю, $x^2$ совсем мало, и им можно пренебречь.

$1{,}001^2 \approx 1{,}002$ (точно $1{,}002001$ ); $\ 0{,}99^2 \approx 0{,}98$ (точно $0{,}9801$ ).

Ошибка такого приближения как раз равна $x^2$ .

(1 + x)^2 \approx 1 + 2x, \qquad (1 - x)^2 \approx 1 - 2x

Главное

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ ; $\ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ .
$(a + b)^2 \ne a^2 + b^2$ : не забываем удвоенное произведение.
$(a - b)^2 = (b - a)^2$ , $\ (-a - b)^2 = (a + b)^2$ .
Справа налево формулы сворачивают трёхчлен в квадрат двучлена.

Квадрат суммы и квадрат разности

Все уроки станции «Формулы сокращённого умножения»