Разложение многочлена на множители

• $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$; $\ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
• $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$.
• $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$; $\ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
• Это тождества; они верны, если вместо $a$ и $b$ подставить любые целые выражения: $(a + b + c + d)^2 = \big((a + b) + (c + d)\big)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd$.

1. $(a + 1)(a - 1) = a^2 - 1$ — разность квадратов.
2. $(a^2 - 1)\big((a^2)^2 + a^2 \cdot 1 + 1\big) = (a^2)^3 - 1 = a^6 - 1$ — разность кубов выражений $a^2$ и $1$.
3. $(a + 1)(a^2 - a + 1) = a^3 + 1$ — сумма кубов. Итого $a^6 - 1 + a^3 + 1 = a^6 + a^3$.

• Вынесение общего множителя: $3ab - 3ac + a^2 = a(3b - 3c + a)$.
• Формулы. Иногда многочлен сначала надо увидеть как формулу: $49x^4 - 16y^6 = (7x^2)^2 - (4y^3)^2 = (7x^2 + 4y^3)(7x^2 - 4y^3)$.
• Начинать всегда с общего множителя: $2x^3 - 8x = 2x(x^2 - 4) = 2x(x - 2)(x + 2)$.

• $x^2 + 2x - 8 = (x + 1)^2 - 9 = (x + 1 + 3)(x + 1 - 3) = (x + 4)(x - 2)$.
• $x^4 - 10x^2 + 9 = (x^2 - 5)^2 - 16 = (x^2 - 1)(x^2 - 9) = (x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3)$.
• $x^4 + 64 = x^4 + 16x^2 + 64 - 16x^2 = (x^2 + 8)^2 - (4x)^2 = (x^2 - 4x + 8)(x^2 + 4x + 8)$ — полный квадрат «достроили» сами.
• Не каждый многочлен раскладывается на множители степени больше нуля: например, $x^2 + 64$.

Члены разбивают на группы так, чтобы у каждой группы был свой общий множитель, а после его вынесения в скобках получалось одно и то же выражение.

С формулами: $a^3 + a^2 - b^3 - b^2 = (a^3 - b^3) + (a^2 - b^2) = (a - b)(a^2 + ab + b^2) + (a - b)(a + b) = (a - b)(a^2 + ab + b^2 + a + b)$.

Если сгруппировать иначе, может не получиться — группировка требует перебора и смекалки.

Часто нужно применить несколько способов, иногда по нескольку раз. В формуле: группировка и два полных квадрата ($-5 = 4 - 9$), затем разность квадратов:

$(x + 2 - y + 3)(x + 2 + y - 3) = (x - y + 5)(x + y - 1)$.

Порядок действий: 1) общий множитель; 2) формулы; 3) группировка; 4) выделение полного квадрата. После каждого шага смотрим, не раскладывается ли множитель дальше.

1. а) Вынесем минус: $-(m^2 + 2m + 1) = -(m + 1)^2$.
2. б) Разность кубов: $(a - 3)(a^2 + 3a + 9)$.
3. в) Группируем: $a^2(a + 5) + 5(a + 5) = (a + 5)(a^2 + 5)$.

1. а) Квадрат суммы: $(19 + 1)^2 = 400$.
2. б) $46 \cdot 32 = 2 \cdot 46 \cdot 16$ — удвоенное произведение. $46^2 - 2 \cdot 46 \cdot 16 + 16^2 = (46 - 16)^2 = 900$.

1. Группируем первый с третьим, второй с четвёртым: $(x^2y - x^2) - (y - 1) = x^2(y - 1) - (y - 1)$.
2. Общий множитель $(y - 1)$: $\ (y - 1)(x^2 - 1)$.
3. $x^2 - 1$ — разность квадратов: $(y - 1)(x - 1)(x + 1)$.

1. Числитель группировкой: $x^2(x + 2) - 9(x + 2) = (x + 2)(x^2 - 9) = (x + 2)(x - 3)(x + 3)$.
2. $\dfrac{(x + 2)(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)(x + 2)} = x + 3$ (при $x \ne 3$, $x \ne -2$).

• Способы: общий множитель → формулы → группировка → полный квадрат; часто нужны несколько.
• Разложение проверяется умножением обратно.
• Множитель, который ещё раскладывается, раскладываем до конца.
• В №20 числитель и знаменатель раскладывают, чтобы сократить общий множитель.