Разность квадратов. Сумма и разность кубов

$(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2$ — подобные члены $\mp ab$ взаимно уничтожились.

Разность квадратов двух чисел равна произведению суммы этих чисел и их разности. Формула сразу раскладывает $a^2 - b^2$ на множители.

Для вычислений: $41 \cdot 39 = (40 + 1)(40 - 1) = 1600 - 1 = 1599$.

Из квадрата $a^2$ вырежем уголок $b^2$. Остаток разрежем на прямоугольники I ($(a - b) \times a$) и II ($(a - b) \times b$) и приставим II к I.

Получится прямоугольник со сторонами $a - b$ и $a + b$. Площадь не изменилась: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

1. а) $(2a)^2 - (3b)^2 = 4a^2 - 9b^2$. Во втором сумма $4y + 5x$ и разность $4y - 5x$: $\ 16y^2 - 25x^2$.
2. б) $82 \cdot 78 = (80 + 2)(80 - 2) = 6400 - 4 = 6396$.
3. $299 \cdot 301 = 300^2 - 1 = 89\,999$; $\ 10{,}2 \cdot 9{,}8 = 100 - 0{,}04 = 99{,}96$.

1. а) Пусть у меня $n$ коробок по $n$ кусков: $n^2$. У сестры $(n - 3)(n + 3) = n^2 - 9$.
2. У меня больше на $9$ кусков — при любом $n$.
3. б) Разность квадратов выражений $3x + 2$ и $x$: $\ (3x + 2 - x)(3x + 2 + x) = (2x + 2)(4x + 2) = 4(x + 1)(2x + 1)$.

1. Числитель — разность квадратов: $\big((3x + 7) - (3x - 7)\big)\big((3x + 7) + (3x - 7)\big)$.
2. $= 14 \cdot 6x = 84x$.
3. $\dfrac{84x}{x} = 84$ (при $x \ne 0$).

1. Перенесём всё влево и разложим: $(x + 10)^2 - (5 - x)^2 = \big(x + 10 - 5 + x\big)\big(x + 10 + 5 - x\big) = (2x + 5) \cdot 15$.
2. $15(2x + 5) = 0$, откуда $2x + 5 = 0$.
3. $x = -2{,}5$.

Проверка умножением: $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3 = a^3 + b^3$. Так же для разности.

$a^2 - ab + b^2$ называют неполным квадратом разности (в полном было бы $2ab$), $a^2 + ab + b^2$ — неполным квадратом суммы.

Сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел и неполного квадрата их разности; разность кубов — произведению разности и неполного квадрата суммы.

1. а) Второй множитель — неполный квадрат разности $2$ и $x$: это сумма кубов, $8 + x^3$.
2. б) $a^3 + 1^3 = (a + 1)(a^2 - a + 1)$.
3. $125x^3 = (5x)^3$, $\ 8p^3 = (2p)^3$: $\ (5x - 2p)(25x^2 + 10xp + 4p^2)$.

$(a + b)^3 = (a + b)^2(a + b) = (a^2 + 2ab + b^2)(a + b) = a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3$ — приводим подобные.

Куб суммы равен кубу первого плюс утроенное произведение квадрата первого и второго плюс утроенное произведение первого и квадрата второго плюс куб второго. Куб разности — знаки чередуются.

Пример: $(x + 2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$; $\ (a - 2)^3 = a^3 - 6a^2 + 12a - 8$. Не путать: $(a + b)^3$ — куб суммы, $a^3 + b^3$ — сумма кубов.

• $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ — и для вычислений, и для разложения.
• $a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$; во второй скобке — неполный квадрат.
• $(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$.
• Уравнение $A^2 = B^2$ удобно решать как $(A - B)(A + B) = 0$.