Выделение полного квадрата

• $x^2 - 8x = x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 - 4^2 = (x - 4)^2 - 16$.
• $x^2 + x + 1 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \dfrac12 + \left(\dfrac12\right)^2 - \dfrac14 + 1 = \left(x + \dfrac12\right)^2 + \dfrac34$.
• $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$ — трёхчлен уже был полным квадратом.
• Общее правило при коэффициенте $1$ у $x^2$: половина коэффициента при $x$ идёт в скобку, её квадрат вычитаем.

• Если старший коэффициент — квадрат: $16x^2 + 24x + 1 = (4x)^2 + 2 \cdot 4x \cdot 3 + 3^2 - 3^2 + 1 = (4x + 3)^2 - 8$.
• Иначе выносим его за скобки из двух первых членов: $3x^2 + 6x + 1 = 3(x^2 + 2x) + 1 = 3\big((x + 1)^2 - 1\big) + 1 = 3(x + 1)^2 - 2$.
• Проверка — раскрыть обратно: $3(x^2 + 2x + 1) - 2 = 3x^2 + 6x + 1$. Сошлось.

1. а) $x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 9 - 9 + 1 = (x + 3)^2 - 8$.
2. б) Переставим: $p^2 - p + 3 = p^2 - 2 \cdot p \cdot \dfrac12 + \dfrac14 - \dfrac14 + 3 = \left(p - \dfrac12\right)^2 + 2\dfrac34$.
3. в) $4x^2 = (2x)^2$, $\ 4x = 2 \cdot 2x \cdot 1$: $\ (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1 - 1 + 5 = (2x + 1)^2 + 4$.

Пример 6. $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$, а квадрат любого числа неотрицателен. Значит, $x^2 + 6x + 9 \ge 0$ при любом $x$.

$x^2 + 4x + 4{,}1 = (x + 2)^2 + 0{,}1$: неотрицательное число плюс $0{,}1$ — положительно. Значит, $x^2 + 4x + 4{,}1 > 0$ при любом $x$.

Пример 7. $x^2 + y^2 + 6x - 14y + 58 = (x^2 + 6x + 9) + (y^2 - 14y + 49) = (x + 3)^2 + (y - 7)^2 \ge 0$ при любых $x$, $y$.

1. а) $x^2 - 6x + 11 = (x - 3)^2 - 9 + 11 = (x - 3)^2 + 2$.
2. $(x - 3)^2 \ge 0$, поэтому $(x - 3)^2 + 2 \ge 2 > 0$.
3. б) $34 = 9 + 25$: $\ (x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 10y + 25) = (x - 3)^2 + (y + 5)^2 \ge 0$ — сумма двух неотрицательных чисел.

Выделенный полный квадрат вместе с разностью квадратов (следующий урок) превращает трёхчлен в произведение: $(x + 3)^2 - 2^2 = (x + 3 - 2)(x + 3 + 2)$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: $x = -1$ или $x = -5$.

Так решают уравнения ОГЭ №9 вида $x^2 + bx + c = 0$ ещё до формулы корней. В 8 классе ровно так выведут формулу через дискриминант.

1. $x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 16 - 16 + 7 = (x + 4)^2 - 9$.
2. $(x + 4)^2 - 3^2 = (x + 4 - 3)(x + 4 + 3) = (x + 1)(x + 7)$.
3. $(x + 1)(x + 7) = 0$: $\ x = -1$ или $x = -7$.

• $x^2 + bx + c = \left(x + \dfrac b2\right)^2 - \left(\dfrac b2\right)^2 + c$: прибавили и вычли квадрат половины коэффициента.
• При коэффициенте $a \ne 1$ у $x^2$ выносим $a$ за скобки или ищем квадрат $(kx)^2$.
• Сумма квадратов неотрицательна — так доказывают неравенства и находят наименьшие значения.
• Полный квадрат + разность квадратов раскладывают трёхчлен на множители.