Функции · 11 класс · урок 1 из 3 · Никольский, «Алгебра и начала анализа 11», § 6, п. 6.1

Первообразная

Выход к заданиям: ЕГЭ №9

Сначала нужно знать: Задачи на оптимизацию
Зачем этот урок: ЕГЭ №9: связь графиков F и f = F′; нахождение первообразных
Дальше: Площадь криволинейной трапеции. Интеграл

Первообразная и интеграл · урок 1

Первообразная

Обратная задача: по производной найти функцию

Понятие первообразной

Функция $F(x)$ — первообразная для $f(x)$ на интервале, если в каждой его точке $F'(x) = f(x)$ . Пример: $F = \dfrac{x^2}{2}$ — первообразная для $f = x$ , а $-\cos x$ — для $\sin x$ .
Если $F$ — первообразная, то и $F + C$ — первообразная: $(F + C)' = F' = f$ .
Теорема. Любые две первообразные одной функции на интервале отличаются на постоянную. Доказательство: $(F_1 - F_2)' = f - f = 0$ , а функция с нулевой производной на интервале постоянна (по теореме Лагранжа).
Поэтому все первообразные имеют вид $F(x) + C$ ; их графики получаются сдвигом вдоль оси $Oy$ . Через каждую точку проходит график ровно одной из них.
Неопределённый интеграл — множество всех первообразных: $\displaystyle\int f(x)\,dx = F(x) + C$ .

Таблица и правила

$f(x)$	$F(x)$	$f(x)$	$F(x)$
$0$	$C$	$\sin x$	$-\cos x$
$x^n$ ( $n \ne -1$ )	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$	$\cos x$	$\sin x$
$\dfrac1x$	$\ln\|x\|$	$\dfrac{1}{\cos^2 x}$	$\operatorname{tg} x$
$e^x$	$e^x$	$\dfrac{1}{\sin^2 x}$	$-\operatorname{ctg} x$
$a^x$	$\dfrac{a^x}{\ln a}$	$\dfrac{1}{\sqrt x}$	$2\sqrt x$

Сумма: первообразная суммы — сумма первообразных. Множитель: $kf \to kF$ .
Линейная замена: если $F$ — первообразная для $f$ , то для $f(kx + b)$ первообразная $\dfrac1k F(kx + b)$ . Пример: $(3x + 7)^{10} \to \dfrac{(3x + 7)^{11}}{33}$ .
Проверка всегда одна: продифференцировать ответ и получить исходную функцию.

Графики F и f

$f = F'$ , поэтому всё, что мы знаем о производной, работает и здесь.
$f(x) > 0$ там, где $F$ возрастает; $f(x) < 0$ — где $F$ убывает.
Решения уравнения $f(x) = 0$ — точки, где касательная к графику $F$ горизонтальна: точки экстремума $F$ (и точки перегиба с горизонтальной касательной).
Значение $f(x_0)$ — угловой коэффициент касательной к графику $F$ в точке $x_0$ .
Разность $F(b) - F(a)$ не зависит от выбора первообразной: постоянная $C$ сокращается.

Никольский, № 6.7, 6.14Пример 1

а) Найдите первообразную для

f(x) = x

, график которой проходит через

A(2; 0)

; для

f(x) = x^2

— через

A(3; 6)

. б) Найдите

\displaystyle\int (5x^4 - 4x^3 + 3x^2 - 2x + 1)\,dx

а) $F = \dfrac{x^2}{2} + C$ : $2 + C = 0$ , $C = -2$ , $F = \dfrac{x^2}{2} - 2$ .
$F = \dfrac{x^3}{3} + C$ : $9 + C = 6$ , $C = -3$ , $F = \dfrac{x^3}{3} - 3$ .
б) Почленно: $x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x + C$ . Проверка: производная даёт подынтегральную функцию.

Ответ: а) $\dfrac{x^2}2 - 2$ ; $\dfrac{x^3}3 - 3$ ; б) $x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x + C$

Никольский, № 6.5Пример 2

Найдите первообразную функции

f(x) = (3x + 7)^{10}

и проверьте ответ дифференцированием.

Для $u^{10}$ первообразная $\dfrac{u^{11}}{11}$ ; линейная замена $u = 3x + 7$ даёт множитель $\dfrac13$ .
$F(x) = \dfrac{(3x + 7)^{11}}{33} + C$ .
Проверка: $F'(x) = \dfrac{11(3x + 7)^{10} \cdot 3}{33} = (3x + 7)^{10}$ .

Ответ: $\dfrac{(3x + 7)^{11}}{33} + C$

ЕГЭ, задание 9Пример 3

На рисунке изображён график функции

y = F(x)

— одной из первообразных функции

f(x)

, определённой на интервале

(-4; 3)

. Найдите количество решений уравнения

f(x) = 0

на отрезке

[-3; 1]

$f(x) = F'(x)$ , поэтому решения $f(x) = 0$ — точки, где касательная к графику $F$ горизонтальна, то есть точки экстремума $F$ .
На отрезке $[-3; 1]$ это $x \approx -2{,}5$ , $-2$ , $-1$ , $0$ — четыре точки (вершина около $-3{,}2$ и впадина около $1{,}2$ лежат вне отрезка).

Ответ: 4

Главное

$F' = f$ ; все первообразные — $F + C$ .
Таблица первообразных — таблица производных «наоборот»; $f(kx + b) \to \dfrac1k F(kx + b)$ .
Нули $f$ — точки экстремума $F$ ; знак $f$ — монотонность $F$ .
Проверяем ответ дифференцированием.

Все уроки станции «Первообразная и интеграл»