Функции · 11 класс · урок 2 из 3 · Никольский, «Алгебра и начала анализа 11», § 6, п. 6.3–6.4

Площадь криволинейной трапеции. Интеграл

Выход к заданиям: ЕГЭ №9

Сначала нужно знать
Первообразная
Зачем этот урок
ЕГЭ №9: определённый интеграл как площадь под графиком
Дальше
Формула Ньютона — Лейбница
Первообразная и интеграл · урок 2
Площадь криволинейной трапеции. Интеграл
Интегральные суммы и определённый интеграл
Криволинейная трапеция
Oxyab
  • ff непрерывна и неотрицательна на [a;b][a; b]. Фигура, ограниченная графиком y=f(x)y = f(x), осью OxOx и прямыми x=ax = a, x=bx = b, — криволинейная трапеция.
  • Если ff — постоянная, это прямоугольник; если линейная — обычная трапеция (или треугольник). Для кривой нужен предельный переход.
Интегральные суммы
Oxyab
Sn=f(x0)Δx+f(x1)Δx+…+f(xn−1)ΔxS_n = f(x_0)\Delta x + f(x_1)\Delta x + \ldots + f(x_{n-1})\Delta x
  • Разобьём [a;b][a; b] на nn равных частей длины Δx=b−an\Delta x = \dfrac{b - a}{n} точками a=x0<x1<…<xn=ba = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b и над каждой частью построим прямоугольник высотой f(xk)f(x_{k}).
  • Сумма их площадей SnS_n — интегральная сумма; при росте nn ступенчатая фигура всё лучше приближает трапецию.
  • Пример (№ 6.27): f(x)=xf(x) = x на [0;1][0; 1], высоты kn\dfrac kn: Sn=1n(1n+2n+…+nn)=n+12n→12S_n = \dfrac1n\left(\dfrac1n + \dfrac2n + \ldots + \dfrac nn\right) = \dfrac{n + 1}{2n} \to \dfrac12 — площадь треугольника.
  • Площадь криволинейной трапеции — предел интегральных сумм при n→∞n \to \infty.
Определённый интеграл
∫abf(x) dx=lim⁡n→∞Sn\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} S_n
  • Предел интегральных сумм непрерывной на [a;b][a; b] функции называют определённым интегралом от aa до bb; aa и bb — пределы интегрирования, ff — подынтегральная функция.
  • Геометрический смысл: при f≥0f \ge 0 интеграл равен площади криволинейной трапеции. Если f≤0f \le 0, интеграл равен этой площади со знаком минус.
  • ∫aaf dx=0\displaystyle\int_a^a f\,dx = 0; для постоянной ∫abC dx=C(b−a)\displaystyle\int_a^b C\,dx = C(b - a).
  • Для графиков из отрезков (ЕГЭ №9) интеграл считают как сумму площадей прямоугольников, треугольников и трапеций.
Никольский, № 6.27Пример 1
Функция y=xy = x на отрезке [0;1][0; 1]: отрезок делят на nn равных частей, высоты прямоугольников берут в правых концах. Найдите S1S_1, S2S_2, S4S_4 и предел SnS_n.
  1. Sn=1n⋅1+2+…+nn=n(n+1)2n2=n+12nS_n = \dfrac1n \cdot \dfrac{1 + 2 + \ldots + n}{n} = \dfrac{n(n + 1)}{2n^2} = \dfrac{n + 1}{2n}.
  2. S1=1S_1 = 1, S2=34S_2 = \dfrac34, S4=58S_4 = \dfrac58.
  3. Sn→12S_n \to \dfrac12 — это площадь треугольника под прямой: ∫01x dx=12\displaystyle\int_0^1 x\,dx = \dfrac12.
Ответ: 11; 34\dfrac34; 58\dfrac58; предел 12\dfrac12
ЕГЭ, задание 9Пример 2
Oxy1354
На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x)y = f(x). Пользуясь рисунком, вычислите определённый интеграл ∫15f(x) dx\displaystyle\int_1^5 f(x)\,dx.
  1. Интеграл равен площади под графиком от 11 до 55.
  2. На [1;3][1; 3] — прямоугольник 2×4=82 \times 4 = 8; на [3;5][3; 5] — треугольник 12⋅2⋅4=4\dfrac12 \cdot 2 \cdot 4 = 4.
  3. Всего 8+4=128 + 4 = 12.
Ответ: 12
Главное
  • Интегральная сумма — площадь ступенчатой фигуры; её предел — интеграл.
  • ∫abf dx\displaystyle\int_a^b f\,dx при f≥0f \ge 0 — площадь криволинейной трапеции.
  • Ниже оси OxOx площадь входит в интеграл со знаком минус.
  • Для ломаных графиков интеграл считаем по площадям простых фигур.

Все уроки станции «Первообразная и интеграл»

  1. Первообразная
  2. Площадь криволинейной трапеции. Интеграл
  3. Формула Ньютона — Лейбница