Функции · 11 класс · урок 3 из 3 · Никольский, «Алгебра и начала анализа 11», § 6, п. 6.6–6.7

Формула Ньютона — Лейбница

Выход к заданиям: ЕГЭ №9

Сначала нужно знать
Площадь криволинейной трапеции. Интеграл
Зачем этот урок
ЕГЭ №9: F(b) − F(a) по графику; площади фигур, путь по скорости
Дальше
Описательная статистика
Первообразная и интеграл · урок 3
Формула Ньютона — Лейбница
Интеграл через первообразную, площади фигур
Теорема Ньютона — Лейбница
∫abf(x) dx=F(b)−F(a)=F(x)∣ab\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) = F(x)\Big|_a^b
  • Пусть S(x)S(x) — площадь криволинейной трапеции над отрезком [a;x][a; x]. Приращение ΔS\Delta S — узкая полоска, примерно прямоугольник f(x)Δxf(x)\Delta x, поэтому S′(x)=f(x)S'(x) = f(x): площадь как функция правого конца — первообразная для ff.
  • Значит, S(x)=F(x)+CS(x) = F(x) + C; при x=ax = a площадь равна 00: C=−F(a)C = -F(a). При x=bx = b: S=F(b)−F(a)S = F(b) - F(a).
  • Теорема. Если ff непрерывна на [a;b][a; b] и FF — любая её первообразная, то интеграл равен F(b)−F(a)F(b) - F(a).
  • Пример: ∫0πsin⁡x dx=−cos⁡x∣0π=1+1=2\displaystyle\int_0^\pi \sin x\,dx = -\cos x\Big|_0^\pi = 1 + 1 = 2.
Свойства интеграла
  • ∫ab(f+g) dx=∫abf dx+∫abg dx\displaystyle\int_a^b (f + g)\,dx = \int_a^b f\,dx + \int_a^b g\,dx;  ∫abkf dx=k∫abf dx\ \displaystyle\int_a^b kf\,dx = k\int_a^b f\,dx.
  • ∫abf dx=∫acf dx+∫cbf dx\displaystyle\int_a^b f\,dx = \int_a^c f\,dx + \int_c^b f\,dx — интеграл по отрезку складывается из частей.
  • ∫baf dx=−∫abf dx\displaystyle\int_b^a f\,dx = -\int_a^b f\,dx.
  • Если f≥gf \ge g на [a;b][a; b], то площадь фигуры между графиками S=∫ab(f−g) dx\displaystyle S = \int_a^b (f - g)\,dx.
  • Физический смысл: если v(t)v(t) — скорость, то путь за [t1;t2][t_1; t_2] равен ∫t1t2v(t) dt\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt (при v≥0v \ge 0).
Площадь фигуры между графиками
Oxyy = 4 − x²y = x + 2
  • 1) Найти абсциссы точек пересечения графиков — это пределы интегрирования.
  • 2) Определить, какой график выше на этом отрезке.
  • 3) Проинтегрировать разность «верхняя минус нижняя».
  • Если фигура состоит из частей, где графики меняются местами, считаем по частям.
Никольский, № 6.52Пример 1
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) y=x2y = x^2, x=0x = 0, x=2x = 2, y=0y = 0; б) y=sin⁡xy = \sin x, x=0x = 0, x=πx = \pi, y=0y = 0.
  1. а) ∫02x2 dx=x33∣02=83\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx = \dfrac{x^3}{3}\Big|_0^2 = \dfrac83.
  2. б) ∫0πsin⁡x dx=−cos⁡x∣0π=−(−1)+1=2\displaystyle\int_0^\pi \sin x\,dx = -\cos x\Big|_0^\pi = -(-1) + 1 = 2.
Ответ: а) 83\dfrac83; б) 22
Никольский, № 6.54Пример 2
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) y=x2−4x+6y = x^2 - 4x + 6 и y=6y = 6; б) y=4−x2y = 4 - x^2 и y=x+2y = x + 2.
  1. а) x2−4x+6=6x^2 - 4x + 6 = 6 при x=0x = 0 и 44; прямая выше: ∫04(4x−x2) dx=(2x2−x33)∣04=32−643=323\displaystyle\int_0^4 (4x - x^2)\,dx = \left(2x^2 - \dfrac{x^3}{3}\right)\Big|_0^4 = 32 - \dfrac{64}{3} = \dfrac{32}{3}.
  2. б) 4−x2=x+24 - x^2 = x + 2: x2+x−2=0x^2 + x - 2 = 0, x=−2x = -2 и 11; парабола выше.
  3. ∫−21(2−x−x2) dx=(2x−x22−x33)∣−21=76+103=92\displaystyle\int_{-2}^{1} (2 - x - x^2)\,dx = \left(2x - \dfrac{x^2}2 - \dfrac{x^3}3\right)\Big|_{-2}^{1} = \dfrac76 + \dfrac{10}{3} = \dfrac92.
Ответ: а) 323\dfrac{32}3; б) 92\dfrac92
ЕГЭ, задание 9Пример 3
Oxy2381
На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x)y = f(x) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(8)−F(2)F(8) - F(2), где F(x)F(x) — одна из первообразных функции f(x)f(x).
  1. F(8)−F(2)=∫28f(x) dxF(8) - F(2) = \displaystyle\int_2^8 f(x)\,dx — площадь под графиком от 22 до 88.
  2. На [2;3][2; 3] — прямоугольник 1×2=21 \times 2 = 2; на [3;8][3; 8] — треугольник 12⋅5⋅2=5\dfrac12 \cdot 5 \cdot 2 = 5.
  3. Всего 2+5=72 + 5 = 7.
Ответ: 7
ЕГЭ, задание 9Пример 4
Oxy−11−9
На рисунке изображён график функции y=f(x)y = f(x). Функция F(x)=x3+30x2+302x−158F(x) = x^3 + 30x^2 + 302x - \dfrac{15}{8} — одна из первообразных функции f(x)f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
  1. Фигура — криволинейная трапеция над отрезком [−11;−9][-11; -9]: S=F(−9)−F(−11)S = F(-9) - F(-11).
  2. Свободный член сокращается: F(−9)+158=−729+2430−2718=−1017F(-9) + \dfrac{15}8 = -729 + 2430 - 2718 = -1017, F(−11)+158=−1331+3630−3322=−1023F(-11) + \dfrac{15}8 = -1331 + 3630 - 3322 = -1023.
  3. S=−1017−(−1023)=6S = -1017 - (-1023) = 6.
Ответ: 6
Главное
  • ∫abf dx=F(b)−F(a)\displaystyle\int_a^b f\,dx = F(b) - F(a) для любой первообразной.
  • Площадь между графиками — интеграл от разности «верх минус низ» между точками пересечения.
  • F(b)−F(a)F(b) - F(a) по графику ff — площадь под графиком.
  • Путь — интеграл от скорости.

Все уроки станции «Первообразная и интеграл»

  1. Первообразная
  2. Площадь криволинейной трапеции. Интеграл
  3. Формула Ньютона — Лейбница