Основное уравнение МКТ

• Средние расстояния между молекулами намного больше их размеров — молекулы считаем материальными точками.
• Средняя кинетическая энергия молекул намного больше энергии их взаимодействия — на расстоянии молекулы не взаимодействуют.
• Молекулы сталкиваются друг с другом и со стенками абсолютно упруго.

Каждая молекула, ударяясь о стенку, на мгновение действует на неё с силой. Удары беспорядочны, и сила на единицу площади быстро колеблется.

Действие отдельных молекул так мало, что манометр его не замечает: он показывает среднее по времени давление. Ударов очень много, а массы молекул ничтожны, поэтому среднее давление вполне определённое.

За время $t$ о площадку $S$ ударяются молекулы из слоя толщиной $v_xt$, движущиеся к стенке, — половина от $nSv_xt$. Импульс, переданный стенке: $Ft = 2m_0v_x \cdot \tfrac12 nSv_xt$, откуда $F = nm_0v_x^2S$.

Скорости у молекул разные — берём среднее $\overline{v_x^2}$. Все направления равноправны: $\overline{v_x^2} = \overline{v_y^2} = \overline{v_z^2} = \tfrac13\overline{v^2}$. Давление $p = \dfrac{F}{S}$:

Давление идеального газа пропорционально массе молекулы, концентрации и среднему квадрату скорости. Множитель $\tfrac13$ — следствие трёхмерности пространства.

Среднеквадратичная скорость $v_{\text{ср.кв}} = \sqrt{\overline{v^2}}$; средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы $\overline{E} = \dfrac{m_0\overline{v^2}}{2}$:

• $\rho = m_0n$ — плотность газа.
• Уравнение связывает макровеличину $p$, измеряемую манометром, с микровеличинами — концентрацией и энергией молекул.
• Концентрация $n = \dfrac{N}{V}$ — число молекул в единице объёма, единица м⁻³.

1. $p = \dfrac23 n\overline{E}$ — давление пропорционально произведению $n\overline{E}$.
2. $\dfrac{p_2}{p_1} = 2 \cdot 2 = 4$.

1. $p \sim n\overline{E}$: множитель $2 \cdot \dfrac14 = \dfrac12$.
2. $p_2 = 160 \cdot \dfrac12 = 80$ кПа.

1. $\overline{E} = \dfrac{3p}{2n}$ — пропорциональна $\dfrac{p}{n}$.
2. $\dfrac{E_2}{E_1} = \dfrac{4}{1/2} = 8$ — увеличилась в $8$ раз.

1. $p = \dfrac13 m_0n\overline{v^2}$, $n = \dfrac{N}{V}$, $Nm_0 = m$: $\;p = \dfrac{m\overline{v^2}}{3V}$.
2. $V = \dfrac{m\overline{v^2}}{3p} = \dfrac{1 \cdot 400^2}{3 \cdot 10^5} \approx 0{,}53$ м³.

• Идеальный газ: молекулы — точки, не взаимодействуют на расстоянии, удары упругие.
• Давление — средний результат ударов молекул о стенку; удар меняет импульс на $2m_0v_x$.
• Основное уравнение МКТ: $p = \dfrac13 m_0n\overline{v^2} = \dfrac23 n\overline{E} = \dfrac13\rho\overline{v^2}$.
• Давление пропорционально концентрации и средней кинетической энергии молекул.