Температура и средняя кинетическая энергия молекул

Для одного моля газа умножим основное уравнение $p = \tfrac23n\overline{E}$ на молярный объём $V_M$; $nV_M = N_A$: $\;pV_M = \tfrac23N_A\overline{E}$.

Из опыта (уравнение состояния, урок о газах) для моля $pV_M = RT$. Правые части равны:

Средняя кинетическая энергия хаотического поступательного движения молекул пропорциональна абсолютной температуре.

• Названа в честь Людвига Больцмана.
• Температуру можно было бы измерять в джоулях — как среднюю энергию молекул; $k$ переводит кельвины в джоули.
• $1$ эВ $= 1{,}6 \cdot 10^{-19}$ Дж — удобная единица энергии частиц.

Подставим $\overline{E} = \tfrac32kT$ в $p = \tfrac23n\overline{E}$:

• При одинаковых давлении и температуре концентрация молекул у всех газов одна — закон Авогадро: в равных объёмах газов при одинаковых $p$ и $T$ одинаковое число молекул.
• Закон Дальтона: давление смеси газов равно сумме парциальных давлений — давлений, которые создавал бы каждый газ один: $p = p_1 + p_2 + \ldots$ Молекулы идеального газа не взаимодействуют, и каждый газ давит, «не замечая» остальных.

Из $\dfrac{m_0\overline{v^2}}{2} = \dfrac32kT$:

• Азот при комнатной температуре: $\sqrt{\dfrac{3 \cdot 8{,}31 \cdot 300}{0{,}028}} \approx 500$ м/с — как скорость пули.
• При одной температуре лёгкие молекулы быстрее: $\dfrac{v_1}{v_2} = \sqrt{\dfrac{M_2}{M_1}}$.
• Почему же запах распространяется медленно? Молекулы постоянно сталкиваются, их путь — ломаная; перемещение за секунды невелико.

Толщина полоски серебра неодинакова: по ней определили, сколько молекул имеют скорости в разных интервалах.

Кривая распределения имеет максимум при наиболее вероятной скорости — ею обладает наибольшее число молекул; у большинства скорости близки к ней.

Внутренняя энергия тела — энергия, зависящая только от его термодинамического состояния: сумма кинетических энергий теплового движения молекул и потенциальных энергий их взаимодействия.

В идеальном газе потенциальной энергии взаимодействия нет. Для одноатомного газа (гелий, неон, аргон) — только кинетическая энергия поступательного движения атомов:

Число степеней свободы $i$ — число независимых координат, задающих положение тела. Атом — $3$ (поступательное движение), двухатомная молекула — $5$ ($3$ поступательных и $2$ вращательных), многоатомная — $6$.

На каждую степень свободы в среднем приходится одна и та же энергия $\tfrac12kT$ — теорема о равномерном распределении. Отсюда для любого идеального газа:

1. $\overline{E} = \tfrac32kT$ — пропорциональна абсолютной температуре.
2. $\dfrac{E_2}{E_1} = \dfrac{700}{175} = 4$.

1. $\Delta\overline{E} = \tfrac32k\Delta T = 1{,}5 \cdot 1{,}38 \cdot 10^{-23} \cdot 773 \approx 1{,}6 \cdot 10^{-20}$ Дж.
2. В электрон-вольтах: $\dfrac{1{,}6 \cdot 10^{-20}}{1{,}6 \cdot 10^{-19}} \approx 0{,}1$ эВ.

1. Температура одна: $v \sim \sqrt{\dfrac{1}{M}}$.
2. $\dfrac{v_{He}}{v_{CO_2}} = \sqrt{\dfrac{44}{4}} = \sqrt{11} \approx 3{,}3$.

1. В равновесии средняя кинетическая энергия частицы такая же, как у молекул: $\dfrac{m\overline{v^2}}{2} = \dfrac32kT$.
2. $v = \sqrt{\dfrac{3kT}{m}} = \sqrt{\dfrac{3 \cdot 1{,}38 \cdot 10^{-23} \cdot 300}{1{,}3 \cdot 10^{-15}}} \approx 3 \cdot 10^{-3}$ м/с.
3. $v \approx 3$ мм/с.

1. Гелий одноатомный: $U = N \cdot \tfrac32kT$, $T = 300$ К.
2. $N = \dfrac{2U}{3kT} = \dfrac{20}{3 \cdot 1{,}38 \cdot 10^{-23} \cdot 300} \approx 1{,}6 \cdot 10^{21}$.

1. Время полёта от малого цилиндра до большого: $\tau = \dfrac{D_2 - D_1}{2v}$. За это время точка большого цилиндра проходит дугу $s = \omega\dfrac{D_2}{2}\tau = \pi n D_2\tau$.
2. Отсюда $v = \dfrac{\pi nD_2(D_2 - D_1)}{2s}$, $n = \dfrac{2800}{60} \approx 46{,}7$ об/с.
3. $v = \dfrac{3{,}14 \cdot 46{,}7 \cdot 0{,}24 \cdot 0{,}228}{2 \cdot 0{,}0076} \approx 528$ м/с.

• $\overline{E} = \tfrac32kT$, $k = R/N_A = 1{,}38 \cdot 10^{-23}$ Дж/К — температура пропорциональна энергии молекул.
• $p = nkT$; закон Авогадро; закон Дальтона $p = \sum p_i$.
• $v_{\text{ср.кв}} = \sqrt{3kT/m_0} = \sqrt{3RT/M}$; подтверждено опытом Штерна.
• Внутренняя энергия одноатомного идеального газа $U = \tfrac32\nu RT$ — только от температуры; в общем случае $U = \tfrac{i}{2}\nu RT$.