Призма

• Многогранник — поверхность из многоугольников, ограничивающая геометрическое тело (тело тоже часто называют многогранником). Тетраэдр — $4$ треугольника, параллелепипед — $6$ параллелограммов, октаэдр — $8$ треугольников.
• Многоугольники — грани, их стороны — рёбра, концы рёбер — вершины. Отрезок между вершинами, не лежащими в одной грани, — диагональ многогранника.
• Выпуклый многогранник лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани; все его грани — выпуклые многоугольники.
• В выпуклом многограннике сумма плоских углов при каждой вершине меньше $360^\circ$ (развернём грани с общей вершиной на плоскость — останется щель).

Теорема. В любом выпуклом многограннике сумма числа граней $f$ и числа вершин $e$ больше числа рёбер $k$ на $2$.

Проверка: тетраэдр $4 + 4 - 6 = 2$; куб $6 + 8 - 12 = 2$; октаэдр $8 + 6 - 12 = 2$; треугольная призма $5 + 6 - 9 = 2$.

Идея доказательства. Уберём одну грань $G$ и спроектируем остальную поверхность из точки над $G$ на плоскость $G$: получится $G$, разбитая на $f - 1$ выпуклых многоугольников с $e$ вершинами и $k$ сторонами.

Проведение диагонали не меняет $f' - k'$; разобьём всё на треугольники. Если в $G$ $n$ сторон, то $k' = 3f' - (k' - n)$, а сумма углов треугольников $f' \cdot 180^\circ = (n - 2) \cdot 180^\circ + 360^\circ (e' - n)$. Отсюда $f' + e' - k' = 1$, то есть $(f - 1) + e - k = 1$.

• Равные многоугольники $A_1A_2\ldots A_n$ и $B_1B_2\ldots B_n$ лежат в параллельных плоскостях, $A_1B_1 \parallel A_2B_2 \parallel \ldots$. Четырёхугольники $A_1A_2B_2B_1, \ldots$ — параллелограммы. Многогранник из двух многоугольников и $n$ параллелограммов — $n$-угольная призма.
• Многоугольники — основания, параллелограммы — боковые грани, $A_1B_1, \ldots, A_nB_n$ — боковые рёбра: они равны и параллельны. Параллелепипед — четырёхугольная призма.
• Высота — перпендикуляр из точки одного основания к плоскости другого.
• Боковые рёбра перпендикулярны основаниям — призма прямая (высота равна боковому ребру), иначе — наклонная. Прямая призма с правильными многоугольниками в основаниях — правильная: её боковые грани — равные прямоугольники.

Площадь полной поверхности — сумма площадей всех граней; боковой — сумма площадей боковых граней.

Теорема. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту.

Доказательство. Боковые грани прямой призмы — прямоугольники со сторонами $a_1, a_2, \ldots, a_n$ (стороны основания) и высотой $h$: $S_{\text{бок}} = a_1h + a_2h + \ldots + a_nh = (a_1 + \ldots + a_n)h = Ph$.

Для наклонной призмы $S_{\text{бок}}$ равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро (№ 236).

1. а) Диагональ основания $\sqrt{144 + 25} = 13$; она — проекция диагонали параллелепипеда, угол $45^\circ$, значит, боковое ребро равно $13$ см.
2. б) Большая диагональ параллелепипеда проектируется в большую диагональ ромба: $\sqrt{24^2 + 10^2} = 26$ см.

1. а) $S_{\text{бок}} = 3 \cdot 10 \cdot 15 = 450$; $S_{\text{осн}} = \dfrac{100\sqrt3}{4} = 25\sqrt3$; $S_{\text{полн}} = 450 + 50\sqrt3$ см$^2$.
2. б) $S_{\text{бок}} = 4 \cdot 12 \cdot 8 = 384$; $S_{\text{полн}} = 384 + 2 \cdot 144 = 672$ дм$^2$.

1. $S_{\text{осн}} = \dfrac12 \cdot 6 \cdot 8 = 24$; сторона ромба $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$, периметр $20$.
2. $248 = 2 \cdot 24 + 20h$, $20h = 200$, $h = 10$. У прямой призмы боковое ребро равно высоте.

1. $B$ и $E$ — противоположные вершины правильного шестиугольника основания, $BE$ — его большая диагональ.
2. Большая диагональ проходит через центр и равна $2R = 2a = 2$.

• Выпуклый многогранник: сумма плоских углов при вершине меньше $360^\circ$; $f + e - k = 2$.
• Призма: два равных основания в параллельных плоскостях, боковые грани — параллелограммы, боковые рёбра равны и параллельны.
• Прямая призма: $S_{\text{бок}} = Ph$; $S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}}$.
• Правильная призма — прямая с правильным многоугольником в основании.