Геометрия · 10 класс · урок 3 из 3 · Атанасян, «Геометрия 10–11», гл. III, § 3

Правильные многогранники

Выход к заданиям: ЕГЭ №3, ЕГЭ №15

Сначала нужно знать: Пирамида
Зачем этот урок: ЕГЭ №3 и №15: правильный тетраэдр, октаэдр, куб; симметрия многогранников
Дальше: Цилиндр

Многогранники · урок 3

Симметрия в пространстве и пять правильных многогранников

Симметрия в пространстве

$A$ и $A_1$ симметричны относительно точки $O$ , если $O$ — середина $AA_1$ ; относительно прямой $a$ , если $a$ проходит через середину $AA_1$ и перпендикулярна ему; относительно плоскости $\alpha$ — то же для плоскости.
Точка (прямая, плоскость) — центр (ось, плоскость) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно неё точке той же фигуры: центральная, осевая, зеркальная симметрия.
Прямоугольный параллелепипед имеет центр, оси и плоскости симметрии; наклонный параллелепипед — только центр; призма и пирамида в общем случае — ничего.
Симметричны многие здания (относительно плоскости), детали (ось), почти все кристаллы.

Правильные многогранники

Выпуклый многогранник правильный, если все его грани — равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одно и то же число рёбер. Все рёбра равны, все двугранные углы равны.
Граней-шестиугольников не бывает: угол правильного $n$ -угольника при $n \ge 6$ не меньше $120^\circ$ , а в вершине не меньше трёх граней — сумма плоских углов была бы $\ge 360^\circ$ .
По той же причине в вершине сходятся $3$ , $4$ или $5$ правильных треугольников ( $180^\circ, 240^\circ, 300^\circ$ ), $3$ квадрата ( $270^\circ$ ) или $3$ правильных пятиугольника ( $324^\circ$ ).
Других нет — правильных многогранников пять: тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб, додекаэдр.

Грани, рёбра, вершины

	грани	в вершине	$f$	$k$	$e$
тетраэдр	треугольники	$3$	$4$	$6$	$4$
октаэдр	треугольники	$4$	$8$	$12$	$6$
икосаэдр	треугольники	$5$	$20$	$30$	$12$
куб	квадраты	$3$	$6$	$12$	$8$
додекаэдр	пятиугольники	$3$	$12$	$30$	$20$

Пусть у каждой грани $n$ рёбер, в каждой вершине сходится $m$ рёбер. Каждое ребро — в двух гранях и с двумя концами: $nf = 2k$ , $me = 2k$ , а по Эйлеру $f + e - k = 2$ .
Отсюда $f = \dfrac{4m}{2m + 2n - mn}$ , $k = \dfrac{2mn}{2m + 2n - mn}$ , $e = \dfrac{4n}{2m + 2n - mn}$ .
Существование: центры граней куба — вершины октаэдра; центры граней икосаэдра — вершины додекаэдра. Все пять склеиваются из развёрток.

Элементы симметрии

Правильный тетраэдр центра симметрии не имеет. Прямая через середины противоположных рёбер — ось симметрии; плоскость через ребро $AB$ , перпендикулярная противоположному ребру $CD$ , — плоскость симметрии. Осей $3$ , плоскостей $6$ .
Куб: один центр — точка пересечения диагоналей. Оси — через центры противоположных граней ( $3$ ) и через середины противоположных рёбер, не лежащих в одной грани ( $6$ ): всего $9$ . Плоскостей симметрии тоже $9$ .
Октаэдр, икосаэдр и додекаэдр имеют центр симметрии и несколько осей и плоскостей.
Правильный тетраэдр и правильная треугольная пирамида — не одно и то же: у пирамиды боковые рёбра могут не равняться рёбрам основания.

Атанасян, № 276–278Пример 1

а) Сколько центров симметрии у параллелепипеда, правильной треугольной призмы, отрезка? б) Сколько осей симметрии у правильного треугольника, куба? в) Сколько плоскостей симметрии у правильной четырёхугольной призмы (не куба), правильной четырёхугольной пирамиды, правильной треугольной пирамиды?

а) Параллелепипед — $1$ (точка пересечения диагоналей); правильная треугольная призма — $0$ (у треугольника основания центра нет); отрезок — $1$ (середина).
б) Правильный треугольник — $3$ (прямые медиан: поворот на $180^\circ$ вокруг медианы переводит его в себя); куб — $9$ .
в) Призма: $4$ плоскости через ось призмы (как оси симметрии квадрата) и $1$ — через середины боковых рёбер: $5$ . Пирамида: $4$ . Правильная треугольная пирамида: $3$ .

Ответ: а) $1$ , $0$ , $1$ ; б) $3$ , $9$ ; в) $5$ , $4$ , $3$

Атанасян, № 279, 280Пример 2

а) Найдите угол между двумя диагоналями граней куба, имеющими общий конец. б) Ребро куба

a

. Найдите площадь сечения, проходящего через диагонали двух его граней.

а) Диагонали $AB_1$ и $AD_1$ вместе с $B_1D_1$ образуют треугольник со сторонами $a\sqrt2$ — равносторонний: угол $60^\circ$ .
б) Две диагонали задают плоскость, только если они параллельны или пересекаются. Параллельные диагонали противоположных граней: сечение — прямоугольник $a \times a\sqrt2$ , площадь $a^2\sqrt2$ .
Диагонали смежных граней с общим концом: сечение — равносторонний треугольник со стороной $a\sqrt2$ , площадь $\dfrac{2a^2\sqrt3}{4} = \dfrac{a^2\sqrt3}{2}$ .

Ответ: а) $60^\circ$ ; б) $a^2\sqrt2$ или $\dfrac{a^2\sqrt3}{2}$

ЕГЭ, задание 3Пример 3

Площадь поверхности тетраэдра равна

12

. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины рёбер данного тетраэдра.

Середины шести рёбер — вершины многогранника с восемью треугольными гранями (у правильного тетраэдра это правильный октаэдр).
Четыре грани лежат в гранях тетраэдра — треугольники из средних линий, каждый площадью $\dfrac14$ грани.
Четыре — «срезы» у вершин: середины трёх рёбер из вершины $D$ образуют треугольник со сторонами $\dfrac{AB}2, \dfrac{BC}2, \dfrac{CA}2$ — равный треугольнику средних линий грани $ABC$ .
Всего $2 \cdot \dfrac14 \cdot 12 = 6$ .

Ответ: 6

ЕГЭ, задание 3Пример 4

Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его рёбра увеличить в

3

раза?

Все линейные размеры выросли в $3$ раза — многогранник подобен исходному с коэффициентом $3$ .
Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента: $3^2 = 9$ .

Ответ: 9

Главное

Симметрия относительно точки, прямой, плоскости: центр — середина, ось и плоскость — серединный перпендикуляр к $AA_1$ .
Правильный многогранник: равные правильные грани, одинаковое число рёбер в вершинах.
Их пять, потому что сумма плоских углов при вершине меньше $360^\circ$ .
При увеличении рёбер в $k$ раз площадь поверхности растёт в $k^2$ раз.

Правильные многогранники

Все уроки станции «Многогранники»