Геометрия · 10 класс · урок 2 из 3 · Атанасян, «Геометрия 10–11», гл. III, § 2

Пирамида

Выход к заданиям: ЕГЭ №3, ЕГЭ №15

Сначала нужно знать: Призма
Зачем этот урок: ЕГЭ №3 и №15: элементы правильной пирамиды, площадь поверхности, сечения пирамид
Дальше: Правильные многогранники

Многогранники · урок 2

Пирамида

Правильная и усечённая пирамиды, площадь боковой поверхности

Пирамида

Многоугольник $A_1A_2\ldots A_n$ и точка $P$ вне его плоскости; соединив $P$ с вершинами, получим треугольники $PA_1A_2, \ldots, PA_nA_1$ . Многогранник из $n$ -угольника и этих треугольников — $n$ -угольная пирамида $PA_1A_2\ldots A_n$ .
Многоугольник — основание, треугольники — боковые грани, $P$ — вершина, $PA_1, \ldots, PA_n$ — боковые рёбра. Треугольная пирамида — это тетраэдр.
Высота — перпендикуляр из вершины к плоскости основания.
$S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}}$ .

Правильная пирамида

Пирамида правильная, если основание — правильный многоугольник, а отрезок от вершины к центру основания — высота.

Боковые рёбра равны: ребро $PA_1$ — гипотенуза прямоугольного $\triangle OPA_1$ с катетами $PO = h$ и $OA_1 = R$ , поэтому $PA_1 = PA_2 = \ldots = \sqrt{h^2 + R^2}$ . Боковые грани — равные равнобедренные треугольники (по трём сторонам).

Высота боковой грани из вершины — апофема $d$ ; все апофемы равны.

Теорема. $S_{\text{бок}}$ правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему. Доказательство: грани — треугольники с основаниями $a_i$ и высотой $d$ : $S = \dfrac12 d(a_1 + \ldots + a_n) = \dfrac12 Pd$ .

S_{\text{бок}} = \frac12 P d

Усечённая пирамида

Плоскость, параллельная основанию, пересекает боковые рёбра пирамиды в $B_1, \ldots, B_n$ и отсекает усечённую пирамиду с основаниями $A_1\ldots A_n$ и $B_1\ldots B_n$ .

Боковые грани — трапеции: $A_1A_2 \parallel B_1B_2$ (параллельные плоскости пересечены плоскостью $PA_1A_2$ ), а продолжения $A_1B_1$ и $A_2B_2$ пересекаются в $P$ .

Высота — перпендикуляр из точки одного основания к плоскости другого.

Правильная усечённая пирамида получается из правильной; её боковые грани — равные равнобокие трапеции, их высоты — апофемы. Площадь боковой поверхности — полусумма периметров оснований на апофему.

S_{\text{бок}} = \frac12 (P_1 + P_2)\, d

Куда проецируется вершина

Все боковые рёбра равны (или одинаково наклонены к основанию) — вершина проецируется в центр описанной около основания окружности: равные наклонные имеют равные проекции (№ 249).
Все боковые грани одинаково наклонены к основанию — вершина проецируется в центр вписанной окружности; апофемы граней равны и $S_{\text{бок}} = \dfrac12 Pd$ (№ 247).
Боковое ребро перпендикулярно основанию — это высота; расстояния от вершины до сторон основания ищут по теореме о трёх перпендикулярах.
Угол бокового ребра с основанием — между ребром и $R$ ; угол боковой грани с основанием — между апофемой и $r$ (у правильной пирамиды).

Атанасян, № 239, 243Пример 1

а) Основание пирамиды — ромб со стороной

5

см и диагональю

8

см; высота

7

см проходит через точку пересечения диагоналей. Найдите боковые рёбра. б) В пирамиде

DABC

AB = AC = 13

см,

BC = 10

см,

AD \perp ABC

AD = 9

см. Найдите площадь боковой поверхности.

а) Половины диагоналей $4$ и $\sqrt{25 - 16} = 3$ . Рёбра: $\sqrt{49 + 16} = \sqrt{65}$ см (два) и $\sqrt{49 + 9} = \sqrt{58}$ см (два).
б) $S_{DAB} = S_{DAC} = \dfrac12 \cdot 13 \cdot 9 = 58{,}5$ (грани прямоугольные: $AD \perp AB$ , $AD \perp AC$ ).
$M$ — середина $BC$ : $AM = \sqrt{169 - 25} = 12$ , $AM \perp BC$ , по теореме о трёх перпендикулярах $DM \perp BC$ ; $DM = \sqrt{81 + 144} = 15$ , $S_{DBC} = \dfrac12 \cdot 10 \cdot 15 = 75$ .
$S_{\text{бок}} = 58{,}5 + 58{,}5 + 75 = 192$ см $^2$ .

Ответ: а) $\sqrt{65}$ см и $\sqrt{58}$ см; б) $192$ см $^2$

Атанасян, № 258Пример 2

Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды образует угол

60^\circ

с плоскостью основания и равно

12

см. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Проекция ребра — половина диагонали основания: $12\cos 60^\circ = 6$ , диагональ $12$ , сторона $6\sqrt2$ , $S_{\text{осн}} = 72$ .
Апофема: $d = \sqrt{12^2 - (3\sqrt2)^2} = \sqrt{126} = 3\sqrt{14}$ .
$S_{\text{бок}} = \dfrac12 \cdot 4 \cdot 6\sqrt2 \cdot 3\sqrt{14} = 36\sqrt{28} = 72\sqrt7$ ; $S = 72 + 72\sqrt7 = 72(1 + \sqrt7)$ см $^2$ .

Ответ: $72(1 + \sqrt7)$ см $^2$

Атанасян, № 269Пример 3

Стороны оснований правильной треугольной усечённой пирамиды

4

дм и

2

дм, боковое ребро

2

дм. Найдите высоту и апофему.

Боковая грань — равнобокая трапеция с основаниями $4$ и $2$ и боковыми сторонами $2$ : апофема $\sqrt{4 - 1} = \sqrt3$ дм.
Радиусы вписанных окружностей оснований $r_1 = \dfrac{4}{2\sqrt3}$ , $r_2 = \dfrac{2}{2\sqrt3}$ , разность $\dfrac1{\sqrt3}$ .
Высота — катет: $h = \sqrt{3 - \dfrac13} = \sqrt{\dfrac83} = \dfrac{2\sqrt6}{3}$ дм.

Ответ: $h = \dfrac{2\sqrt6}3$ дм, апофема $\sqrt3$ дм

ЕГЭ, задание 3Пример 4

В правильной четырёхугольной пирамиде

SABCD

точка

O

— центр основания,

S

— вершина,

SO = 15

BD = 16

. Найдите боковое ребро

SA

$SO$ — высота, $OA = \dfrac{BD}{2} = 8$ (диагонали квадрата равны и делятся пополам).
$SA = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{289} = 17$ .

Ответ: 17

ЕГЭ, задание 3Пример 5

Стороны основания правильной четырёхугольной пирамиды равны

10

, боковые рёбра равны

13

. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Апофема: $\sqrt{13^2 - 5^2} = 12$ .
$S_{\text{бок}} = \dfrac12 \cdot 40 \cdot 12 = 240$ , $S_{\text{осн}} = 100$ , $S = 340$ .

Ответ: 340

Главное

Правильная пирамида: правильное основание, высота — в центр; боковые рёбра $\sqrt{h^2 + R^2}$ , апофема — высота боковой грани.
$S_{\text{бок}} = \dfrac12 Pd$ ; у усечённой — $\dfrac12(P_1 + P_2)d$ .
Равные боковые рёбра — вершина над центром описанной окружности; равные углы граней с основанием — над центром вписанной.
Сечение, параллельное основанию, даёт подобный многоугольник.

Пирамида

Все уроки станции «Многогранники»