Рациональные выражения. Бином Ньютона

Многочлен — сумма одночленов; сумма, разность и произведение многочленов — многочлены. Если $C = A \cdot B$, многочлен $C$ разложен на множители $A$ и $B$.

Формулы сокращённого умножения: $(a \pm b)^2$, $(a \pm b)^3$, $a^2 - b^2$, $a^3 \pm b^3$. Список можно продолжить — ниже формулы для $(a + b)^n$, $a^n - b^n$ и $a^{2n+1} + b^{2n+1}$ при любом натуральном $n$.

Алгебраическая дробь $\dfrac AB$ — частное многочлена и ненулевого многочлена; рациональное выражение — дроби, соединённые знаками действий, без деления на нулевой многочлен.

• Многочлен от нескольких переменных симметрический, если он не меняется при любой перестановке переменных: $x + y$, $\ a^2 + b^2 - 1$, $\ 5a^2 + 6ab + 5b^2$; не симметрические: $x - y$, $\ a^2 - b^2$.
• Любой симметрический многочлен от $x$ и $y$ выражается через $\alpha = x + y$ и $\beta = xy$:
• $x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = \alpha^2 - 2\beta$; $\quad x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y) = \alpha^3 - 3\alpha\beta$.
• $x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2 = \alpha^4 - 4\alpha^2\beta + 2\beta^2$. Это помогает решать симметричные системы (ОГЭ №20: $x^2 + y^2 = 26$, $xy = 5$).

1. $p\left(\dfrac1b\right) = \left(\dfrac1b + 3b\right)\left(\dfrac3b + b\right)$ — те же два множителя, только в другом порядке.
2. Значит, $p\left(\frac1b\right) = p(b)$ при всех $b \ne 0$, и дробь равна $1$.
3. Выражение симметрично относительно замены $b \to \frac1b$ — это и видно без раскрытия скобок.

$(a + b)^4 = (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3)(a + b) = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$.

Коэффициенты разложений $(a + b)^n$ образуют треугольник Паскаля: по краям единицы, каждое внутреннее число — сумма двух чисел над ним в предыдущей строке ($4 + 6 = 10$).

По шестой строке: $(a + b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$.

$C_n^k$ — число сочетаний из $n$ по $k$ (биномиальные коэффициенты); $k$-й член разложения ($k = 0, 1, \ldots, n$) равен $C_n^k a^{n-k}b^k$. Всего членов $n + 1$.

Доказательство индукцией. При $n = 1$ верно. Если верно для $n = k$, умножим разложение на $(a + b)$: коэффициент при $a^{k+1-m}b^m$ складывается из $C_k^m$ и $C_k^{m-1}$, а $C_k^m + C_k^{m-1} = C_{k+1}^m$ — это и есть правило треугольника Паскаля.

Комбинаторно: в произведении $(a + b)(a + b) \ldots (a + b)$ член $a^{n-k}b^k$ получается, когда из $k$ скобок из $n$ берём $b$ — это можно сделать $C_n^k$ способами.

1. а) Пятая строка: $1, 5, 10, 10, 5, 1$; $\ b = 2$: $\ x^5 + 5 \cdot 2x^4 + 10 \cdot 4x^3 + 10 \cdot 8x^2 + 5 \cdot 16x + 32 = x^5 + 10x^4 + 40x^3 + 80x^2 + 80x + 32$.
2. б) Третий член — второй по номеру $k$ ($k = 0$ — нулевой): $C_6^2 = 15$.
3. в) При $n = 4$ членов пять, средний — $k = 2$: $\ C_4^2a^2(-2)^2 = 6 \cdot 4a^2 = 24a^2$.

При $n = 2, 3$ это разность квадратов и кубов. Доказательство индукцией: $a^{k+1} - b^{k+1} = a(a^k - b^k) + b^k(a - b)$, и в обоих слагаемых есть множитель $a - b$.

Для нечётного показателя есть и сумма: $a^{2n+1} + b^{2n+1} = (a + b)\left(a^{2n} - a^{2n-1}b + \ldots - ab^{2n-1} + b^{2n}\right)$ — получается заменой $b$ на $-b$.

А $a^{2n} + b^{2n}$ на множители $a + b$ или $a - b$ не раскладывается: $a^2 + b^2$ не делится ни на $a + b$, ни на $a - b$.

• Симметрические многочлены выражаются через $x + y$ и $xy$.
• $(a + b)^n = \sum C_n^k a^{n-k}b^k$; коэффициенты — строка треугольника Паскаля.
• $k$-й член разложения: $C_n^k a^{n-k} b^k$, нумерация с нуля.
• $a^n - b^n$ всегда делится на $a - b$; $a^{2n+1} + b^{2n+1}$ — на $a + b$.