Теорема Безу. Корни многочлена

При делении многочлена $P_n(x)$ степени $n \ge 1$ на $x - a$ частное — многочлен степени $n - 1$, а остаток $R$ — число (степень остатка меньше $1$).

Многочлен делится на $x - a$ нацело только тогда, когда $R = 0$.

Теорема. Остаток от деления многочлена $P_n(x)$ на двучлен $x - a$ равен значению многочлена при $x = a$.

Доказательство. Подставим $x = a$ в равенство $P_n(x) = (x - a)Q_{n-1}(x) + R$: первое слагаемое обращается в нуль, остаётся $P_n(a) = R$.

Следствие. $P_n(x)$ делится на $x - a$ нацело тогда и только тогда, когда $P_n(a) = 0$.

Деление на $x - a$ удобно записывать таблицей. Сверху — коэффициенты многочлена (все, включая нулевые). Старший коэффициент сносим вниз; дальше: $a$ умножить на последнее число нижней строки и прибавить следующий коэффициент.

Для $3x^3 + 0x^2 - 2x - 20$ и $a = 2$ получили $3, 6, 10$ — коэффициенты частного $3x^2 + 6x + 10$ — и остаток $0$: $\ 3x^3 - 2x - 20 = (x - 2)(3x^2 + 6x + 10)$.

1. а) Горнер с $a = 3$: $1$; $\ 3 \cdot 1 + 2 = 5$; $\ 3 \cdot 5 - 1 = 14$; $\ 3 \cdot 14 + 3 = 45$; $\ 3 \cdot 45 - 1 = 134$.
2. Частное $x^3 + 5x^2 + 14x + 45$, остаток $134$.
3. б) $x + 1 = x - (-1)$, по теореме Безу $R = P(-1) = 2 + (-3) + 1 + 5 = 5$ — делить не нужно.

Число $a$ — корень многочлена $P_n(x)$, если $P_n(a) = 0$, то есть если $P_n(x)$ делится на $x - a$. Число $2$ — корень $3x^3 - 2x - 20$, и в разложении есть множитель $x - 2$.

Многочлен степени $n \ge 1$ имеет не больше $n$ действительных корней: каждый корень даёт множитель первой степени, а их не может быть больше степени.

Корней может и не быть: $3x^2 + 6x + 10 = 3(x + 1)^2 + 7 > 0$ при всех $x$.

Теорема. Если у многочлена с целыми коэффициентами есть рациональный корень $\dfrac pq$ (несократимая дробь, $p$ — целое, $q$ — натуральное), то $a_0$ делится на $p$, а $a_n$ делится на $q$.

Доказательство. Подставим и умножим на $q^n$: $a_np^n + a_{n-1}p^{n-1}q + \ldots + a_1pq^{n-1} + a_0q^n = 0$. Все слагаемые, кроме последнего, делятся на $p$ — значит, и $a_0q^n$ делится на $p$, а $q$ с $p$ общих делителей не имеет. Так же $a_np^n$ делится на $q$.

Следствие. Если старший коэффициент равен $1$, рациональные корни — только целые делители свободного члена.

1. $p$ делит $2$: $\pm 1, \pm 2$; $q$ делит $6$: $1, 2, 3, 6$. Кандидаты: $\pm 1, \pm 2, \pm \frac12, \pm \frac13, \pm \frac23, \pm \frac16$.
2. $P(1) = 6 \ne 0$, $\ P(-1) = 12 \ne 0$, $\ P(2) = 60 \ne 0$, $\ P(-2) = -48 + 28 + 18 + 2 = 0$ — корень $-2$.
3. Делим на $x + 2$: $6x^3 + 7x^2 - 9x + 2 = (x + 2)(6x^2 - 5x + 1) = (x + 2)(2x - 1)(3x - 1)$.

1. Старший коэффициент $1$ — целые корни ищем среди делителей $-2$: $\pm 1, \pm 2$. $P(1) = 0$; делим на $x - 1$: $x^4 - 4x^2 + x + 2$.
2. У частного снова корень $1$; делим: $x^3 + x^2 - 3x - 2$. Здесь корень $-2$; делим: $x^2 - x - 1$.
3. $x^2 - x - 1 = 0$: $\ x = \dfrac{1 \pm \sqrt5}{2}$. Итого $P(x) = (x - 1)^2(x + 2)(x^2 - x - 1)$.

1. Кандидаты — делители $-5$: $\pm1, \pm5$. $P(1) = 1 + 5 - 1 - 5 = 0$ — корень $1$.
2. Горнер с $a = 1$: $1, 6, 5, 0$ — частное $x^2 + 6x + 5 = (x + 1)(x + 5)$.
3. Корни $-5$, $-1$, $1$. (Группировкой: $x^2(x + 5) - (x + 5) = (x + 5)(x - 1)(x + 1)$.)

1. Кандидаты — делители $24$. $P(3) = 27 - 27 - 24 + 24 = 0$ — корень $3$.
2. Делим на $x - 3$: $x^2 - 8$. Значит, $(x - 3)(x^2 - 8) = 0$.
3. $x = 3$ или $x^2 = 8$, $\ x = \pm 2\sqrt2$ — эти корни иррациональны, перебор делителей их бы не нашёл.

• Теорема Безу: остаток от деления $P(x)$ на $x - a$ равен $P(a)$.
• $a$ — корень $P(x)$ $\iff$ $P(x)$ делится на $x - a$; корней не больше степени.
• Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами: $\dfrac pq$, $p \mid a_0$, $q \mid a_n$; при $a_n = 1$ — целые делители $a_0$.
• Нашли корень — делим по Горнеру и понижаем степень.