Деление многочленов с остатком

Числа $a_0, \ldots, a_n$ — коэффициенты; $a_n$ — коэффициент при старшем члене, $a_0$ — свободный член; $n$ — степень многочлена.

У $5x^3 + 4x^2 - 2x + 7$ коэффициенты $5, 4, -2, 7$, старший — $5$, свободный член $7$, степень $3$.

Если все коэффициенты равны нулю, многочлен нулевой; его степень не определяется.

Разделить многочлен $A$ на многочлен $B$ с остатком — найти многочлены $Q$ (неполное частное) и $R$ (остаток) так, чтобы выполнялось равенство в рамке.

Если $R$ — нулевой многочлен, $A$ делится на $B$ нацело, и $B$ — делитель $A$.

Это полная аналогия с делением чисел: $17 = 3 \cdot 5 + 2$, остаток меньше делителя. У многочленов «меньше» означает «меньшей степени».

1) Делим старший член делимого на старший член делителя: $2x^4 : x^2 = 2x^2$ — первый член частного. 2) Умножаем делитель на него и вычитаем.

3) С остатком $3x^3 + 0x^2 - 7x \ldots$ повторяем: $3x^3 : x^2 = 3x$, затем $9x^2 : x^2 = 9$. 4) Останавливаемся, когда степень остатка меньше степени делителя.

Итог: $2x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 7x + 5 = (2x^2 + 3x + 9)(x^2 - 3x + 1) + 17x - 4$. Пропущенные степени записывают с нулевым коэффициентом: $+0x^2$.

1. Дописываем нули: $x^5 + 0x^4 - 7x^3 + 0x^2 - 12x + 18$ и $x^3 - 2x^2 + 0x - 6$.
2. $x^5 : x^3 = x^2$; вычитаем $x^5 - 2x^4 - 6x^2$, остаётся $2x^4 - 7x^3 + 6x^2 - 12x + 18$. $\ 2x^4 : x^3 = 2x$; вычитаем $2x^4 - 4x^3 - 12x$, остаётся $-3x^3 + 6x^2 + 18$.
3. $-3x^3 : x^3 = -3$; вычитаем $-3x^3 + 6x^2 + 18$ — остаток $0$. Частное $x^2 + 2x - 3$.

• Наибольший общий делитель многочленов $A$ и $B$ — многочлен наибольшей степени, на который делятся оба. Если $A$ делится на $B$, то $\text{НОД}(A, B) = B$.
• Иначе делим с остатком: $A = Q_1B + R_1$, затем $B = Q_2R_1 + R_2$, затем $R_1$ на $R_2$ и т. д. Степени остатков убывают, поэтому процесс конечен.
• НОД — последний ненулевой остаток. Снизу вверх видно, что он делит $A$ и $B$; сверху вниз — что любой общий делитель $A$ и $B$ делит его.
• Пример учебника: $\text{НОД}(x^3 + 3x^2 + 3x + 2,\ x^3 + 2x^2 + 2x + 1) = x^2 + x + 1$; для $x^2 - x - 3$ и $x + 1$ последний остаток — число, $\text{НОД} = 1$.

1. Знаменатель $x^2 - x - 6$. Разделим уголком: $x^3 : x^2 = x$, вычитаем $x^3 - x^2 - 6x$, остаётся $3x^2 - 3x - 18$.
2. $3x^2 : x^2 = 3$, вычитаем $3x^2 - 3x - 18$ — остаток $0$. Частное $x + 3$.
3. Значит, дробь равна $x + 3$ при $x \ne 3$, $x \ne -2$. (Тот же ответ даёт группировка: $x^2(x + 2) - 9(x + 2)$.)

• $A = QB + R$, степень остатка меньше степени делителя.
• Уголком: старший на старший, умножить, вычесть, повторить; пропущенные степени — с нулём.
• НОД многочленов — последний ненулевой остаток алгоритма Евклида.
• Сократить дробь с многочленами = разделить числитель на знаменатель без остатка.