Случайные события. Вероятность

Рассматриваем случайные опыты: в результате каждого возможен только один из $n$ ($n > 1$) заранее известных исходов, но какой именно — заранее неизвестно. Если ни одному исходу нельзя отдать предпочтение и опыт можно повторять в одинаковых условиях, исходы называют равновозможными.

• Подбрасывание монеты — $2$ исхода: герб или решка.
• Бросание игрального кубика — $6$ исходов: $1, 2, 3, 4, 5, 6$ очков.
• Извлечение кости домино — $28$ исходов; карты из колоды — $36$ исходов.

• Случайное событие может произойти, а может не произойти в опыте: $A$ — «выпало чётное число очков».
• Каждый исход — элементарное событие. Исходы, при которых $A$ происходит, называют благоприятствующими событию $A$. Событию «выпало простое число очков» благоприятствуют $3$ исхода: $2, 3, 5$.
• Невозможное событие не происходит никогда (выпало $0$ очков) — ему благоприятствуют $0$ исходов. Достоверное происходит всегда (выпало не более $6$ очков) — ему благоприятствуют все $n$ исходов.

Вероятностью случайного события $A$ называют отношение числа $m$ исходов, благоприятствующих событию $A$, к числу $n$ всех исходов в данном опыте.

Кубик: $A$ — «выпало число, кратное трём» — $m = 2$, $P(A) = \dfrac26 = \dfrac13$. $\ B$ — «выпало простое число» — $P(B) = \dfrac36 = \dfrac12$. $\ C$ — «выпало $5$» — $P(C) = \dfrac16$.

1. а) Исходов $4$: ГГ, ГР, РГ, РР. $P(A) = P(B) = \dfrac14$, а событию $C$ благоприятствуют два исхода — ГР и РГ: $P(C) = \dfrac12$.
2. б) Исходов $6 \cdot 6 = 36$ — пары $(n_1;\ n_2)$. Сумма $6$: $(1;5), (2;4), (3;3), (4;2), (5;1)$ — $5$ исходов. Сумма $7$: $6$ исходов.
3. $P = \dfrac{5}{36} < \dfrac{6}{36}$ — у второго игрока шансы больше.

1. Число таких четырёхзначных чисел — размещения из $9$ цифр по $4$: $A_9^4 = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 3024$.
2. Благоприятствует один исход: $P = \dfrac{1}{3024}$.

1. Всего исходов $25$, выученных билетов $25 - 3 = 22$.
2. $P = \dfrac{22}{25} = 0{,}88$.

1. Первым может стартовать любой из $7 + 1 + 2 = 10$ спортсменов — исходы равновозможны.
2. Благоприятный исход один: $P = \dfrac{1}{10} = 0{,}1$.

1. Исходов $36$. Сумма нечётна, когда одно число чётное, а другое нечётное: $3 \cdot 3 + 3 \cdot 3 = 18$ исходов.
2. $P = \dfrac{18}{36} = 0{,}5$.

• $P(A) = \dfrac mn$: $n$ — все равновозможные исходы, $m$ — благоприятствующие.
• Сначала считаем $n$ — часто по правилу умножения ($36$ для двух кубиков, $4$ для двух монет).
• Пары $(1;\ 2)$ и $(2;\ 1)$ — разные исходы.
• $0 \le P \le 1$; невозможное событие — $0$, достоверное — $1$.