Несовместные и независимые события

События, которые не могут произойти одновременно, называют несовместными: при бросании кубика «выпало нечётное число» и «выпало число, кратное четырём».

Для несовместных событий вероятность суммы равна сумме вероятностей. Из колоды в $36$ карт: «король» и «дама» несовместны, $P = \dfrac{4}{36} + \dfrac{4}{36} = \dfrac29$.

Если события совместны, исходы из пересечения $A \cdot B$ посчитаны в $P(A) + P(B)$ дважды — один раз вычитаем.

Для несовместных $P(A \cdot B) = 0$, и формула превращается в предыдущую.

1. $A$ — «трефовая карта»: $P(A) = \dfrac14$. $\ B$ — «туз»: $P(B) = \dfrac19$.
2. $A \cdot B$ — «трефовый туз»: $P(A \cdot B) = \dfrac{1}{36}$.
3. $P(A + B) = \dfrac14 + \dfrac19 - \dfrac{1}{36} = \dfrac{9 + 4 - 1}{36} = \dfrac13$.

Если вероятность любого из двух событий не зависит от того, произошло ли другое, события считают независимыми. Строго: $A$ и $B$ называют независимыми, если выполнено равенство выше.

Две монеты: $A$ — «герб на первой», $B$ — «герб на второй». $P(A) = P(B) = \dfrac12$, $\ P(A \cdot B) = \dfrac14 = \dfrac12 \cdot \dfrac12$ — независимы.

В практических задачах независимость обычно оговаривают в условии: разные стрелки, разные лампы, разные броски.

1. а) $P(A \cdot B) = 0{,}6 \cdot 0{,}5 = 0{,}3$.
2. б) $P(A + B) = 0{,}6 + 0{,}5 - 0{,}3 = 0{,}8$.
3. Проверка через противоположное: оба промахнулись с вероятностью $0{,}4 \cdot 0{,}5 = 0{,}2$, значит, хотя бы одно попадание — $1 - 0{,}2 = 0{,}8$.

1. Противоположное событие — перегорели обе лампы: $0{,}3 \cdot 0{,}3 = 0{,}09$ (лампы перегорают независимо).
2. $P = 1 - 0{,}09 = 0{,}91$.

1. Выстрелы независимы. Попадание: $1 - 0{,}2 = 0{,}8$; три промаха: $0{,}2^3 = 0{,}008$.
2. $P = 0{,}8 \cdot 0{,}008 = 0{,}0064$.

1. Теперь исходы — только те, где сумма $6$: $(1;5), (2;4), (3;3), (4;2), (5;1)$ — их $5$.
2. Двойка есть в $(2;4)$ и $(4;2)$: $P = \dfrac25 = 0{,}4$.

• Несовместные: $P(A + B) = P(A) + P(B)$; в общем случае вычитаем $P(A \cdot B)$.
• Независимые: $P(A \cdot B) = P(A) \cdot P(B)$.
• «Хотя бы один» — через противоположное: $1 - P(\text{ни одного})$.
• Если известно, что что-то уже произошло, исходами считаются только подходящие.