Отрицательные дроби. Рациональные числа и их сравнение

Обыкновенные дроби, изученные раньше, называют ещё положительными дробями. Знак «$+$» перед положительной дробью не меняет её: $+\dfrac23 = \dfrac23$.

Если перед положительной дробью поставить знак «$-$», получится новое число — отрицательная дробь: $-\dfrac12$, $\ -\dfrac{3}{7}$, $\ -1\dfrac25$.

Числа, отличающиеся только знаком, — противоположные: $+\dfrac12$ и $-\dfrac12$. Одно из них положительно, другое отрицательно; нуль противоположен себе: $0 = \dfrac0n$ при любом натуральном $n$.

Модулем положительной дроби называют саму эту дробь; модулем отрицательной дроби — противоположную ей положительную дробь. Модуль нуля — нуль. Модули противоположных чисел равны.

Знак «$-$» записывают не только перед дробью, но и в числителе или знаменателе: все три записи сверху — одно и то же число.

Число, которое можно записать в виде $\dfrac pq$, где $p$ и $q$ — целые числа и $q \ne 0$, называют рациональным числом (или дробью). $p$ — числитель, $q$ — знаменатель; запись читают «$p$, делённое на $q$».

Основное свойство дроби верно и для целых множителей: $\dfrac{-3}{5} = \dfrac{(-3) \cdot (-2)}{5 \cdot (-2)} = \dfrac{6}{-10}$. Переход от $\dfrac pq$ к $\dfrac{pn}{qn}$ — приведение к новому знаменателю, обратный — сокращение.

Две дроби равны тогда и только тогда, когда одна получается из другой умножением (или сокращением) числителя и знаменателя на одно и то же не равное нулю число.

• $\dfrac pq$ — положительная дробь, если $p$ и $q$ одного знака: $\dfrac{-8}{-1} = \dfrac{8}{1} = 8$.
• $\dfrac pq$ — отрицательная дробь, если $p$ и $q$ разных знаков: $\dfrac{3}{-7} = \dfrac{-3}{7} = -\dfrac37$.
• $\dfrac pq = 0$, если $p = 0$, $q \ne 0$: $\ \dfrac{0}{-5} = 0$.
• Любое целое число рационально: $p = \dfrac p1$, например $-3 = \dfrac{-3}{1}$. Любую дробь можно привести к положительному знаменателю — умножить числитель и знаменатель на $-1$. Поэтому всякое рациональное число записывается как $\dfrac pq$, где $q$ — натуральное, $p$ — целое.

1. а) Числитель и знаменатель одного знака — дробь положительна: $\dfrac{-124}{-128} = \dfrac{124}{128}$. Сократим на $4$: $\dfrac{31}{32}$.
2. б) Знаки разные — дробь отрицательна: $\dfrac{252}{-196} = -\dfrac{252}{196}$.
3. $252 = 28 \cdot 9$, $\ 196 = 28 \cdot 7$: $\ -\dfrac{9}{7} = \dfrac{-9}{7}$.

Сравнение дробей сводится к сравнению целых чисел — числителей. Пример 1 (с. 95): $-6 < -5$, поэтому $\dfrac{-6}{7} < \dfrac{-5}{7}$.

Пример 2. $\dfrac{5}{-8}$ и $-\dfrac34$: $\ \dfrac5{-8} = \dfrac{-5}8$, $\ -\dfrac34 = \dfrac{-6}{8}$. Так как $-5 > -6$, то $\dfrac5{-8} > -\dfrac34$.

Следствия: положительная дробь больше нуля, отрицательная — меньше нуля, положительная больше отрицательной.

Как и у целых чисел: из двух отрицательных дробей больше та, у которой модуль меньше.

$-\dfrac23$ и $-\dfrac34$: модули $\dfrac23 = \dfrac8{12}$ и $\dfrac34 = \dfrac9{12}$; у $-\dfrac23$ модуль меньше, значит, $-\dfrac23 > -\dfrac34$.

Удобный приём: если у положительных дробей одинаковые числители, больше та, у которой знаменатель меньше: $\dfrac37 > \dfrac38$; а у отрицательных — наоборот: $-\dfrac37 < -\dfrac38$.

1. Между $-4$ и $-5$ целых чисел нет, поэтому приведём дроби к знаменателю $26$: $-\dfrac{8}{26}$ и $-\dfrac{10}{26}$.
2. Между ними лежит $-\dfrac{9}{26}$: $\ -\dfrac{10}{26} < -\dfrac{9}{26} < -\dfrac{8}{26}$.
3. Так можно найти сколько угодно дробей между двумя данными: при знаменателе $130$ между ними — $9$ дробей.

1. Выделим целую часть: $131 : 12 = 10$ (ост. $11$), так что $\dfrac{131}{12} = 10\dfrac{11}{12}$.
2. $10 < 10\dfrac{11}{12} < 11$ — вариант 1.

• Рациональное число — $\dfrac pq$, $p$ и $q$ целые, $q \ne 0$; целые числа и обыкновенные дроби — частные случаи.
• $-\dfrac pq = \dfrac{-p}{q} = \dfrac{p}{-q}$; знаки $p$ и $q$ одинаковы — дробь положительна, разные — отрицательна.
• Сравнивают, приведя к общему положительному знаменателю: больше та, у которой числитель больше.
• Из двух отрицательных больше та, у которой модуль меньше.