Числа и вычисления · 6 класс · урок 2 из 3 · Никольский, «Математика 6», гл. 3, п. 3.4–3.7

Действия с рациональными числами

Выход к заданиям: ОГЭ №6, ОГЭ №7

Сначала нужно знать
Отрицательные дроби, действия с целыми числами
Зачем этот урок
ОГЭ, задание 6: сумма, разность, произведение и частное дробей, в том числе с отрицательным ответом
Дальше
Рациональные числа на координатной оси
Рациональные числа · урок 2
Действия с дробями любого знака
Сложение, вычитание, умножение, деление, законы, смешанные дроби
Сложение дробей

Сумма двух дробей с общим положительным знаменателем есть дробь с тем же знаменателем и числителем, равным сумме числителей: −35+15=−3+15=−25\dfrac{-3}5 + \dfrac15 = \dfrac{-3 + 1}5 = -\dfrac25;  −27+−37=−57\ \dfrac{-2}{7} + \dfrac{-3}{7} = -\dfrac57.

Сумма противоположных дробей равна нулю: 38+(−38)=3+(−3)8=0\dfrac38 + \left(-\dfrac38\right) = \dfrac{3 + (-3)}8 = 0.

pq+rq=p+rq(q>0)\frac pq + \frac rq = \frac{p + r}q \qquad (q > 0)
Вычитание дробей

Разностью двух дробей называют дробь, которая в сумме с вычитаемым даёт уменьшаемое: 35−(−15)=45\dfrac35 - \left(-\dfrac15\right) = \dfrac45, так как 45+(−15)=35\dfrac45 + \left(-\dfrac15\right) = \dfrac35.

Примеры (с. 98): 35−45=3−45=−15\dfrac35 - \dfrac45 = \dfrac{3 - 4}5 = -\dfrac15;  −35−−45=−3+45=15\ \dfrac{-3}5 - \dfrac{-4}5 = \dfrac{-3 + 4}5 = \dfrac15.

Разные знаменатели — сначала к наименьшему общему положительному знаменателю: 35−1115=915−1115=−215\dfrac35 - \dfrac{11}{15} = \dfrac9{15} - \dfrac{11}{15} = -\dfrac2{15};  −35+2−7=−2135+−1035=−3135\ -\dfrac35 + \dfrac2{-7} = \dfrac{-21}{35} + \dfrac{-10}{35} = -\dfrac{31}{35}.

pq−rq=p−rq(q>0)\frac pq - \frac rq = \frac{p - r}q \qquad (q > 0)
Общие формулы

Дроби любого знака можно складывать и вычитать по этим формулам. Но при наименьшем общем знаменателе вычислений меньше: 35−1115=45−5575=−1075=−215\dfrac35 - \dfrac{11}{15} = \dfrac{45 - 55}{75} = -\dfrac{10}{75} = -\dfrac{2}{15} — тот же ответ, но длиннее.

Разность равна сумме уменьшаемого и числа, противоположного вычитаемому: a−b=a+(−b)a - b = a + (-b). Доказательство то же, что для целых.

Дроби складывают по тем же правилам, что и целые числа: сначала определяют знак результата, потом действуют с модулями: −56+14=−(1012−312)=−712-\dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{4} = -\left(\dfrac{10}{12} - \dfrac{3}{12}\right) = -\dfrac{7}{12}.

pq+rs=ps+qrqs,pq−rs=ps−qrqs\frac pq + \frac rs = \frac{p s + q r}{q s}, \qquad \frac pq - \frac rs = \frac{p s - q r}{q s}
ОГЭ, задание 6Пример 1
Вычислите: 15−34\dfrac15 - \dfrac34.
  1. Общий знаменатель 2020:  420−1520=4−1520=−1120\ \dfrac4{20} - \dfrac{15}{20} = \dfrac{4 - 15}{20} = -\dfrac{11}{20}.
  2. Вычитаемое больше уменьшаемого, поэтому результат отрицательный. В бланк ОГЭ: −1120=−55100=−0,55-\dfrac{11}{20} = -\dfrac{55}{100} = -0{,}55 (десятичные дроби — гл. 4).
Ответ: −1120-\dfrac{11}{20}
ОГЭ, задание 6Пример 2
Найдите значение выражения 125−750\dfrac1{25} - \dfrac7{50}.
  1. 5050 делится на 2525:  125=250\ \dfrac{1}{25} = \dfrac{2}{50}.
  2. 250−750=−550=−110\dfrac2{50} - \dfrac7{50} = -\dfrac{5}{50} = -\dfrac{1}{10}, в бланк — −0,1-0{,}1.
Ответ: −110-\dfrac1{10}
Умножение и деление

Дроби любого знака умножают и делят по тем же правилам, что и положительные: −34⋅1−5\dfrac{-3}{4} \cdot \dfrac{1}{-5} — знаки одинаковы, 320\dfrac3{20}.

p:q=pqp : q = \dfrac pq — дробь можно считать частным числителя и знаменателя: −2:5=−25-2 : 5 = -\dfrac25. Дробь на целое число: числитель умножают на это число; делят — знаменатель умножают: −78:3=−724\dfrac{-7}{8} : 3 = -\dfrac{7}{24}.

pq\dfrac pq и qp\dfrac qp (p,q≠0p, q \ne 0) — взаимно обратные, их произведение 11. Делить — значит умножать на обратную делителю. (−1)⋅a=−a(-1) \cdot a = -a; степень определяется как обычно: (−12)3=−18\left(-\dfrac12\right)^3 = -\dfrac18.

pq⋅rs=prqs,pq:rs=psqr(r≠0)\frac pq \cdot \frac rs = \frac{p r}{q s}, \qquad \frac pq : \frac rs = \frac{p s}{q r} \quad (r \ne 0)
Никольский, Математика 6, п. 3.5Пример 3
Вычислите: а) −34⋅89-\dfrac34 \cdot \dfrac89; б) (−56):(−109)\left(-\dfrac56\right) : \left(-\dfrac{10}{9}\right); в) (−23)4\left(-\dfrac23\right)^4.
  1. Сначала знак, потом модули. а) Знаки разные — минус: −3⋅84⋅9=−23-\dfrac{3 \cdot 8}{4 \cdot 9} = -\dfrac23.
  2. б) Знаки одинаковые — плюс: 56⋅910=5⋅96⋅10=34\dfrac56 \cdot \dfrac9{10} = \dfrac{5 \cdot 9}{6 \cdot 10} = \dfrac34.
  3. в) Чётная степень — плюс: 2434=1681\dfrac{2^4}{3^4} = \dfrac{16}{81}.
Ответ: а) −23-\dfrac23; б) 34\dfrac34; в) 1681\dfrac{16}{81}
Законы действий
  • a+b=b+aa + b = b + a, (a+b)+c=a+(b+c)\quad (a + b) + c = a + (b + c) — законы сложения.
  • a⋅b=b⋅aa \cdot b = b \cdot a, (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)\quad (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) — законы умножения.
  • (a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c — распределительный закон. Доказываются приведением к общему знаменателю и законами для целых чисел.
  • Поэтому для рациональных чисел верны все правила, выведенные для целых: раскрытие скобок, знак произведения и частного. Пример: −79⋅35+(−79)⋅25=−79⋅(35+25)=−79-\dfrac79 \cdot \dfrac35 + \left(-\dfrac79\right) \cdot \dfrac25 = -\dfrac79 \cdot \left(\dfrac35 + \dfrac25\right) = -\dfrac79.
Смешанные дроби любого знака

Знак «−-» перед смешанной дробью относится ко всей сумме: −212=−(212)=−(2+12)-2\dfrac12 = -\left(2\dfrac12\right) = -\left(2 + \dfrac12\right);  −212\ -2\dfrac12 и 2122\dfrac12 — противоположные.

Примеры (с. 110): −214+(−114)=−(214+114)=−312-2\dfrac14 + \left(-1\dfrac14\right) = -\left(2\dfrac14 + 1\dfrac14\right) = -3\dfrac12; 513−723=−(723−513)=−213\quad 5\dfrac13 - 7\dfrac23 = -\left(7\dfrac23 - 5\dfrac13\right) = -2\dfrac13.

112−513=−(526−136)=−(486−136)=−3561\dfrac12 - 5\dfrac13 = -\left(5\dfrac26 - 1\dfrac36\right) = -\left(4\dfrac86 - 1\dfrac36\right) = -3\dfrac56 — из целой части «заняли» единицу.

Никольский, Математика 6, п. 3.7Пример 4
Вычислите: а) 115⋅(−334)1\dfrac15 \cdot \left(-3\dfrac34\right); б) −312:514-3\dfrac12 : 5\dfrac14; в) (−112)3\left(-1\dfrac12\right)^3.
  1. Умножают и делят через неправильные дроби. а) −(65⋅154)=−6⋅155⋅4=−92=−412-\left(\dfrac65 \cdot \dfrac{15}4\right) = -\dfrac{6 \cdot 15}{5 \cdot 4} = -\dfrac92 = -4\dfrac12.
  2. б) −(72:214)=−7⋅42⋅21=−23-\left(\dfrac72 : \dfrac{21}4\right) = -\dfrac{7 \cdot 4}{2 \cdot 21} = -\dfrac23.
  3. в) (−32)3=−278=−338\left(-\dfrac32\right)^3 = -\dfrac{27}{8} = -3\dfrac38.
Ответ: а) −412-4\dfrac12; б) −23-\dfrac23; в) −338-3\dfrac38
ОГЭ, задание 6Пример 5
Найдите значение выражения 56−314\dfrac56 - \dfrac3{14}. Представьте результат в виде несократимой обыкновенной дроби. В ответ запишите числитель этой дроби.
  1. НОК(6,14)=42\text{НОК}(6, 14) = 42:  3542−942=2642\ \dfrac{35}{42} - \dfrac{9}{42} = \dfrac{26}{42}.
  2. Сократим на 22: 1321\dfrac{13}{21} — несократима (1313 простое, 2121 на 1313 не делится). Числитель — 1313.
Ответ: 1313
Главное
  • Сложение и вычитание — через общий положительный знаменатель (лучше наименьший); a−b=a+(−b)a - b = a + (-b).
  • Умножение и деление — по прежним правилам; знак результата — как у целых чисел.
  • Законы сложения и умножения и правила скобок верны для всех рациональных чисел.
  • Смешанные дроби: знак — перед всей дробью; умножение и деление — через неправильные дроби.

Все уроки станции «Рациональные числа»

  1. Отрицательные дроби. Рациональные числа и их сравнение
  2. Действия с рациональными числами
  3. Рациональные числа на координатной оси