Рациональные числа на координатной оси

На оси изображают не только целые, но и рациональные числа. Числу $\dfrac pq$ соответствует точка на расстоянии $\left|\dfrac pq\right|$ единичного отрезка от точки $0$: на положительной полуоси, если $\dfrac pq > 0$, на отрицательной — если $\dfrac pq < 0$.

Пример 1 (с. 115): $-\dfrac25 < 0$ — точка слева от нуля на расстоянии $\dfrac25$. Пример 2: $\dfrac52 = 2\dfrac12$ — справа на расстоянии $2\dfrac12$. Пример 3: $-\dfrac54 = -1\dfrac14$ — слева на расстоянии $1\dfrac14$.

Такие точки называют рациональными точками. Единичный отрезок удобно брать кратным знаменателю: для четвертей берут $4$ клетки.

Если $a < b$, то точка $b$ правее точки $a$, расстояние между ними равно $b - a$, а точка $\dfrac{a + b}2$ — середина отрезка.

Почему: к $a$ прибавим половину длины отрезка: $a + \dfrac{b - a}2 = \dfrac{2a + b - a}2 = \dfrac{a + b}2$.

Пример (с. 116): $A\left(-\dfrac25\right)$, $B\left(\dfrac45\right)$. $AB = \dfrac45 - \left(-\dfrac25\right) = \dfrac65 = 1\dfrac15$; середина: $\left(-\dfrac25 + \dfrac45\right) : 2 = \dfrac15$.

Для любых рациональных $a$ и $b$ число $\dfrac{a + b}2$ тоже рационально. Значит, между любыми двумя рациональными точками есть ещё хотя бы одна — а значит, и бесконечно много: середина, середина половины, …

У рациональных чисел нет «соседей»: нельзя назвать дробь, следующую за $\dfrac12$.

Число $\dfrac{a + b}2$ называют средним арифметическим чисел $a$ и $b$: для $-5$ и $7$ это $\dfrac{-5 + 7}2 = 1$.

Средним арифметическим нескольких чисел называют частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых. Для $1, 3, 7$: $\dfrac{11}3 = 3\dfrac23$; для $-3, 5, -7, 9$: $\dfrac{-3 + 5 - 7 + 9}4 = 1$.

Среднее арифметическое двух чисел — середина отрезка между ними на оси.

1. а) $-4 < -2\dfrac12$, поэтому $AB = -2\dfrac12 - (-4) = 4 - 2\dfrac12 = 1\dfrac12$.
2. б) Середина: $\dfrac{-8 + 3}2 = \dfrac{-5}2 = -2\dfrac12$.
3. Проверка б): от $-8$ до $-2\dfrac12$ — $5\dfrac12$, от $-2\dfrac12$ до $3$ — тоже $5\dfrac12$ ✓.

1. От $A$ до $C$ столько же, сколько от $C$ до $B$: $B = C + (C - A) = 2C - A$.
2. а) $1 - (-2) = 3$, $\ B = 1 + 3 = 4$. б) $-1 - (-5) = 4$, $\ B = -1 + 4 = 3$.
3. в) $10 - (-18) = 28$, $\ B = 10 + 28 = 38$.

1. а) $\dfrac{-16 + 8}2 = \dfrac{-8}2 = -4$.
2. б) $\dfrac{-19 - 9 + 1 + 11}4 = \dfrac{-16}4 = -4$.
3. в) $\dfrac{-2 + 0 + 2 + 5 + 10}5 = \dfrac{15}5 = 3$.

• По расположению точек определяют знаки: $a < 0$, $b > 0$, значит, $ab < 0$, $\ \dfrac ab < 0$.
• Разность $b - a$ положительна, так как $b$ правее $a$; $a - b < 0$.
• Сумма $a + b$: модуль $a$ больше модуля $b$ ($a$ дальше от нуля), поэтому $a + b < 0$.
• Так решаются задания ОГЭ №7 «Какое из утверждений верно?»: каждое утверждение проверяют по знакам и модулям.

• Точка $\dfrac pq$ — на расстоянии $\left|\dfrac pq\right|$ от нуля, справа при $\dfrac pq > 0$, слева при $\dfrac pq < 0$.
• При $a < b$: расстояние $b - a$, середина $\dfrac{a + b}2$.
• Между двумя рациональными числами всегда есть ещё рациональные.
• Среднее арифметическое — сумма, делённая на количество чисел.