Векторы в пространстве

• Вектор — отрезок, у которого указано начало и конец; любая точка — нулевой вектор $\vec 0$ (без направления). Длина $|\overrightarrow{AB}|$ — длина отрезка $AB$, $|\vec 0| = 0$.
• Ненулевые векторы коллинеарны, если лежат на одной или параллельных прямых; среди коллинеарных — сонаправленные $\vec a \uparrow\uparrow \vec b$ и противоположно направленные $\vec c \uparrow\downarrow \vec d$. Нулевой сонаправлен с любым.
• Векторы равны, если они сонаправлены и их длины равны. В параллелепипеде $\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{DD_1}$, а $\overrightarrow{AB} \ne \overrightarrow{CD}$ — они противоположно направлены.
• От любой точки $M$ можно отложить вектор, равный данному, и притом только один (строим в плоскости через $M$ и концы вектора).
• Векторные величины: сила, скорость, перемещение, напряжённость электрического поля, магнитная индукция.

Правило параллелепипеда. Отложим некомпланарные $\vec a, \vec b, \vec c$ от точки $O$ и построим на них параллелепипед: диагональ $\overrightarrow{OD} = \vec a + \vec b + \vec c$.

Теорема. Любой вектор можно разложить по трём некомпланарным векторам, и коэффициенты разложения единственны.

Существование. $\overrightarrow{OP} = \vec p$. Через $P$ — прямая $\parallel OC$ до плоскости $AOB$ (точка $P_1$), через $P_1$ — прямая $\parallel OB$ до прямой $OA$ (точка $P_2$). $\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OP_2} + \overrightarrow{P_2P_1} + \overrightarrow{P_1P}$, и каждое слагаемое коллинеарно своему вектору: $x\vec a$, $y\vec b$, $z\vec c$.

Единственность. Из двух разложений $\vec 0 = (x - x_1)\vec a + (y - y_1)\vec b + (z - z_1)\vec c$; если $z \ne z_1$, то $\vec c$ выражается через $\vec a, \vec b$ — векторы компланарны, противоречие.