Геометрия · 11 класс · урок 3 из 3 · Атанасян, «Геометрия 10–11», гл. VI–VII, гл. VII § 2

Скалярное произведение. Углы и расстояния

Выход к заданиям: ЕГЭ №15

Сначала нужно знать: Координаты точки и вектора
Зачем этот урок: ЕГЭ №15: угол между прямыми, между прямой и плоскостью, расстояние до плоскости методом координат
Дальше: Задачи ЕГЭ №15 по стереометрии

Векторы и координаты в пространстве · урок 3

Углы между прямыми и плоскостями, уравнение плоскости

Скалярное произведение

\vec a \cdot \vec b = |\vec a||\vec b|\cos\alpha = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2

Угол между векторами — угол $AOB$ при $\overrightarrow{OA} = \vec a$ , $\overrightarrow{OB} = \vec b$ ; у сонаправленных $0^\circ$ . Угол $90^\circ$ — векторы перпендикулярны.
Скалярное произведение — произведение длин на косинус угла. Ненулевые векторы перпендикулярны $\Leftrightarrow \vec a \cdot \vec b = 0$ ; $\vec a^2 = |\vec a|^2$ .
В координатах — как на плоскости, с третьим слагаемым. Отсюда $\cos\alpha = \dfrac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}\sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$ .
Свойства: $\vec a^2 \ge 0$ ; $\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a$ ; $(\vec a + \vec b)\vec c = \vec a\vec c + \vec b\vec c$ ; $k(\vec a\vec b) = (k\vec a)\vec b$ .

Углы между прямыми и плоскостями

Направляющий вектор прямой — ненулевой вектор на ней или на параллельной прямой.

Угол между прямыми (в том числе скрещивающимися) с направляющими $\vec p$ и $\vec q$ : если $\theta = \widehat{\vec p\,\vec q}$ , то $\varphi = \theta$ или $180^\circ - \theta$ ; в любом случае $\cos\varphi = |\cos\theta|$ — модуль в числителе.

Угол между прямой и плоскостью: $\vec p$ — направляющий вектор прямой, $\vec n$ — ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости (нормаль), $\theta = \widehat{\vec p\,\vec n}$ . Тогда $\sin\varphi = |\cos\theta|$ — та же формула, только для синуса.

\cos\varphi = \frac{|x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2|}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}\,\sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}

Уравнение плоскости и расстояние до неё

ax + by + cz + d = 0, \qquad \rho = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

Плоскость через $M_0(x_0; y_0; z_0)$ перпендикулярно $\vec n\{a; b; c\}$ : точка $M$ лежит в ней $\Leftrightarrow \vec n \perp \overrightarrow{M_0M}$ , то есть $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ . Уравнение плоскости — первой степени, $\vec n\{a; b; c\}$ — её нормаль.
Расстояние от точки до плоскости. $M_1$ — проекция $M_0$ ; $\overrightarrow{M_0M_1} = k\vec n$ , $\rho = |k|\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ . Подставив $M_1 = M_0 + k\vec n$ в уравнение, находим $k$ — получается формула.
Уравнение плоскости по трём точкам: подставить координаты точек в $ax + by + cz + d = 0$ и решить систему (одну из букв принять за удобное число). Плоскость через начало координат — $d = 0$ ; в «отрезках» — $\dfrac xp + \dfrac yq + \dfrac zr = 1$ .
Угол между плоскостями — угол между их нормалями (берём $|\cos|$ ).

Атанасян, № 692, 709Пример 1

а) Вычислите угол между векторами

\vec a\{2; -2; 0\}

\vec b\{3; 0; -3\}

. б) В прямоугольном параллелепипеде

AB = 1

BC = 2

BB_1 = 3

. Вычислите косинус угла между прямыми

AC

D_1B

а) $\vec a\vec b = 6$ , $|\vec a| = 2\sqrt2$ , $|\vec b| = 3\sqrt2$ , $\cos\alpha = \dfrac{6}{12} = \dfrac12$ , $\alpha = 60^\circ$ .
б) $A(0; 0; 0)$ , $B(1; 0; 0)$ , $C(1; 2; 0)$ , $D_1(0; 2; 3)$ . $\overrightarrow{AC}\{1; 2; 0\}$ , $\overrightarrow{D_1B}\{1; -2; -3\}$ .
$\cos\varphi = \dfrac{|1 - 4 + 0|}{\sqrt5 \cdot \sqrt{14}} = \dfrac{3}{\sqrt{70}}$ .

Ответ: а) $60^\circ$ ; б) $\dfrac{3}{\sqrt{70}}$

ЕГЭ, задание 3Пример 2

В кубе

ABCDA_1B_1C_1D_1

найдите угол между прямыми

AD_1

B_1D_1

. Ответ дайте в градусах.

Ребро $1$ : $A(0; 0; 0)$ , $B_1(1; 0; 1)$ , $D_1(0; 1; 1)$ . $\overrightarrow{AD_1}\{0; 1; 1\}$ , $\overrightarrow{B_1D_1}\{-1; 1; 0\}$ .
$\cos\varphi = \dfrac{|0 + 1 + 0|}{\sqrt2 \cdot \sqrt2} = \dfrac12$ , $\varphi = 60^\circ$ (треугольник $AB_1D_1$ из диагоналей граней равносторонний).

Ответ: 60

ЕГЭ, задание 15Пример 3

Дана правильная шестиугольная призма

ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1

, все рёбра которой равны

1

. а) Докажите, что

AC_1 \perp BE

. б) Найдите косинус угла между прямыми

AB_1

BC_1

Центр нижнего основания — начало, ось $Oz$ — вверх: $A\left(\dfrac{\sqrt3}{2}; -\dfrac12; 0\right)$ , $B\left(0; -1; 0\right)$ , $C\left(-\dfrac{\sqrt3}{2}; -\dfrac12; 0\right)$ , $E\left(0; 1; 0\right)$ , верхние вершины — с $z = 1$ .
а) $\overrightarrow{AC_1}\{-\sqrt3; 0; 1\}$ , $\overrightarrow{BE}\{0; 2; 0\}$ : произведение $0$ — перпендикулярны.
б) $\overrightarrow{AB_1}\left\{-\dfrac{\sqrt3}{2}; -\dfrac12; 1\right\}$ , $\overrightarrow{BC_1}\left\{-\dfrac{\sqrt3}{2}; \dfrac12; 1\right\}$ ; длины $\sqrt2$ .
$\cos\varphi = \dfrac{\left|\frac34 - \frac14 + 1\right|}{2} = \dfrac{3/2}{2} = \dfrac34$ .

Ответ: 0,75

ЕГЭ, задание 15Пример 4

Основание прямой призмы

ABCDA_1B_1C_1D_1

— ромб

ABCD

AB = 10

BD = 12

, высота призмы

6

. а) Докажите, что

A_1C \perp BD

. б) Найдите расстояние от центра грани

A_1B_1C_1D_1

до плоскости

BDC_1

Центр ромба — начало, $BD$ — по оси $Ox$ : $B(-6; 0; 0)$ , $D(6; 0; 0)$ ; $AO = \sqrt{100 - 36} = 8$ : $A(0; -8; 0)$ , $C(0; 8; 0)$ , $A_1(0; -8; 6)$ , $C_1(0; 8; 6)$ .
а) $\overrightarrow{A_1C}\{0; 16; -6\}$ , $\overrightarrow{BD}\{12; 0; 0\}$ : произведение $0$ .
б) Плоскость $BDC_1$ содержит ось $Ox$ ( $d = 0$ , $a = 0$ ) и точку $C_1$ : $by + cz = 0$ , $8b + 6c = 0$ — уравнение $3y - 4z = 0$ .
Центр верхней грани $O_1(0; 0; 6)$ : $\rho = \dfrac{|0 - 24|}{\sqrt{9 + 16}} = \dfrac{24}{5} = 4{,}8$ .

Ответ: 4,8

Главное

$\vec a\vec b = |\vec a||\vec b|\cos\alpha = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$ ; ноль — перпендикулярность.
Угол между прямыми: $\cos\varphi$ — модуль косинуса между направляющими векторами.
Угол между прямой и плоскостью: $\sin\varphi$ — та же дробь с нормалью плоскости.
Плоскость $ax + by + cz + d = 0$ , нормаль $\{a; b; c\}$ ; расстояние $\dfrac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ .

Скалярное произведение. Углы и расстояния

Все уроки станции «Векторы и координаты в пространстве»