Геометрия · 11 класс · урок 2 из 3 · Атанасян, «Геометрия 10–11», гл. VI–VII, гл. VII § 1

Координаты точки и вектора

Выход к заданиям: ЕГЭ №15

Сначала нужно знать
Векторы в пространстве
Зачем этот урок
ЕГЭ №15: координаты вершин многогранника, длины, середины, расстояния
Дальше
Скалярное произведение. Углы и расстояния
Векторы и координаты в пространстве · урок 2
Координаты точки и вектора
Система координат Oxyz, координаты вектора, расстояние, уравнение сферы
Прямоугольная система координат
xyzM(x; y; z)M₁M₂M₃O
  • Три попарно перпендикулярные прямые через точку OO с выбранными направлениями и единицей — прямоугольная система координат OxyzOxyz: оси абсцисс OxOx, ординат OyOy, аппликат OzOz; плоскости OxyOxy, OyzOyz, OzxOzx.
  • Через точку MM проводим плоскости, перпендикулярные осям, — получаем M1,M2,M3M_1, M_2, M_3 на осях. Абсцисса x=±OM1x = \pm OM_1 (знак по полуоси), так же ордината yy и аппликата zz: M(x;y;z)M(x; y; z).
  • M∈Oxy⇔z=0M \in Oxy \Leftrightarrow z = 0; M∈Oxz⇔y=0M \in Oxz \Leftrightarrow y = 0; M∈Oyz⇔x=0M \in Oyz \Leftrightarrow x = 0. На оси OxOx: y=z=0y = z = 0. Начало O(0;0;0)O(0; 0; 0).
Координаты вектора
a⃗=xi⃗+yj⃗+zk⃗⇔a⃗{x;y;z}\vec a = x\vec i + y\vec j + z\vec k \quad\Leftrightarrow\quad \vec a\{x; y; z\}
  • Координатные векторы i⃗,j⃗,k⃗\vec i, \vec j, \vec k — единичные векторы положительных полуосей. Они некомпланарны, поэтому любой вектор единственным образом раскладывается по ним; коэффициенты — координаты вектора.
  • 0⃗{0;0;0}\vec 0\{0; 0; 0\}; равные векторы имеют равные координаты.
  • 1°. Координаты суммы — суммы координат. 2°. Разности — разности. 3°. αa⃗{αx;αy;αz}\alpha\vec a\{\alpha x; \alpha y; \alpha z\}.
  • Пример. a⃗{1;−2;0}\vec a\{1; -2; 0\}, b⃗{0;3;−6}\vec b\{0; 3; -6\}, c⃗{−2;3;1}\vec c\{-2; 3; 1\}; p⃗=2a⃗−13b⃗+c⃗\vec p = 2\vec a - \dfrac13\vec b + \vec c: {2;−4;0}+{0;−1;2}+{−2;3;1}={0;−2;3}\{2; -4; 0\} + \{0; -1; 2\} + \{-2; 3; 1\} = \{0; -2; 3\}.
  • Коллинеарность: векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны (a⃗=kb⃗\vec a = k\vec b).
Координаты точек и векторов
AB→{x2−x1; y2−y1; z2−z1},∣a⃗∣=x2+y2+z2\overrightarrow{AB}\{x_2 - x_1;\ y_2 - y_1;\ z_2 - z_1\}, \qquad |\vec a| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}
  • Радиус-вектор точки MM — OM→\overrightarrow{OM}; его координаты равны координатам точки: OM→=OM1→+OM2→+OM3→=xi⃗+yj⃗+zk⃗\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OM_1} + \overrightarrow{OM_2} + \overrightarrow{OM_3} = x\vec i + y\vec j + z\vec k.
  • AB→=OB→−OA→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}: каждая координата вектора — разность координат конца и начала.
  • Середина CC отрезка ABAB: OC→=12(OA→+OB→)\overrightarrow{OC} = \dfrac12(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}), то есть x=x1+x22x = \dfrac{x_1 + x_2}{2}, y=y1+y22y = \dfrac{y_1 + y_2}{2}, z=z1+z22z = \dfrac{z_1 + z_2}{2}.
  • Длина — по свойству диагонали прямоугольного параллелепипеда со сторонами ∣x∣,∣y∣,∣z∣|x|, |y|, |z|.
  • Расстояние d=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}.
Уравнение сферы
(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=R2(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2
  • Уравнение поверхности — уравнение с x,y,zx, y, z, которому удовлетворяют координаты любой её точки и не удовлетворяют координаты никакой другой.
  • Для сферы с центром C(x0;y0;z0)C(x_0; y_0; z_0) радиуса RR: точка MM на сфере ⇔MC=R⇔MC2=R2\Leftrightarrow MC = R \Leftrightarrow MC^2 = R^2 — по формуле расстояния получаем уравнение.
  • Уравнение вида x2−4x+y2+z2=0x^2 - 4x + y^2 + z^2 = 0 приводят выделением полного квадрата: (x−2)2+y2+z2=4(x - 2)^2 + y^2 + z^2 = 4 — сфера с центром (2;0;0)(2; 0; 0), R=2R = 2.
  • Метод координат в ЕГЭ №15: вершину многогранника — в начало, рёбра из неё — по осям; координаты всех нужных точек выписываются сразу.
Атанасян, № 650, 658Пример 1
а) Коллинеарны ли векторы a⃗{3;6;8}\vec a\{3; 6; 8\} и b⃗{6;12;16}\vec b\{6; 12; 16\}; c⃗{1;−1;3}\vec c\{1; -1; 3\} и d⃗{2;3;15}\vec d\{2; 3; 15\}? б) Лежат ли на одной прямой точки A(3;−7;8)A(3; -7; 8), B(−5;4;1)B(-5; 4; 1), C(27;−40;29)C(27; -40; 29)?
  1. а) 36=612=816=12\dfrac36 = \dfrac6{12} = \dfrac8{16} = \dfrac12 — a⃗=12b⃗\vec a = \dfrac12\vec b, коллинеарны.  12≠−13\ \dfrac12 \ne \dfrac{-1}{3} — c⃗\vec c и d⃗\vec d не коллинеарны.
  2. б) AB→{−8;11;−7}\overrightarrow{AB}\{-8; 11; -7\}, AC→{24;−33;21}=−3AB→\overrightarrow{AC}\{24; -33; 21\} = -3\overrightarrow{AB} — векторы коллинеарны и имеют общую точку AA: точки на одной прямой.
Ответ: а) да; нет; б) да
Атанасян, № 661, 668Пример 2
а) MM — середина ABAB. Найдите MM, если A(0;3;−4)A(0; 3; -4), B(−2;2;0)B(-2; 2; 0); найдите BB, если A(14;−8;5)A(14; -8; 5), M(3;−2;−7)M(3; -2; -7). б) Определите вид треугольника A(9;3;−5)A(9; 3; -5), B(2;10;−5)B(2; 10; -5), C(2;3;2)C(2; 3; 2).
  1. а) M(−1;52;−2)M\left(-1; \dfrac52; -2\right).  B=2M−A\ B = 2M - A: B(6−14;−4+8;−14−5)=(−8;4;−19)B(6 - 14; -4 + 8; -14 - 5) = (-8; 4; -19).
  2. б) AB=49+49+0=72AB = \sqrt{49 + 49 + 0} = 7\sqrt2, BC=0+49+49=72BC = \sqrt{0 + 49 + 49} = 7\sqrt2, AC=49+0+49=72AC = \sqrt{49 + 0 + 49} = 7\sqrt2 — равносторонний.
Ответ: а) M(−1;2,5;−2)M(-1; 2{,}5; -2), B(−8;4;−19)B(-8; 4; -19); б) равносторонний
Атанасян, № 680, 681Пример 3
Найдите центр и радиус сферы: а) (x−3)2+(y+2)2+z2=2(x - 3)^2 + (y + 2)^2 + z^2 = 2; б) x2+y2+z2−2y=24x^2 + y^2 + z^2 - 2y = 24; в) x2+2x+y2+z2=3x^2 + 2x + y^2 + z^2 = 3.
  1. а) Центр (3;−2;0)(3; -2; 0), R=2R = \sqrt2.
  2. б) x2+(y−1)2+z2=25x^2 + (y - 1)^2 + z^2 = 25: центр (0;1;0)(0; 1; 0), R=5R = 5.
  3. в) (x+1)2+y2+z2=4(x + 1)^2 + y^2 + z^2 = 4: центр (−1;0;0)(-1; 0; 0), R=2R = 2.
Ответ: а) (3;−2;0)(3; -2; 0), 2\sqrt2; б) (0;1;0)(0; 1; 0), 55; в) (−1;0;0)(-1; 0; 0), 22
ЕГЭ, задание 3Пример 4
Найдите квадрат расстояния между вершинами CC и A1A_1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB=5AB = 5, AD=4AD = 4, AA1=3AA_1 = 3.
  1. Система координат: A(0;0;0)A(0; 0; 0), ось OxOx по ABAB, OyOy по ADAD, OzOz по AA1AA_1. Тогда C(5;4;0)C(5; 4; 0), A1(0;0;3)A_1(0; 0; 3).
  2. CA12=52+42+32=50CA_1^2 = 5^2 + 4^2 + 3^2 = 50.
Ответ: 50
Главное
  • Координаты точки = координаты её радиус-вектора.
  • AB→\overrightarrow{AB} — «конец минус начало»; середина — полусумма координат.
  • ∣a⃗∣=x2+y2+z2|\vec a| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}; расстояние между точками — длина вектора между ними.
  • Сфера: (x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=R2(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2.

Все уроки станции «Векторы и координаты в пространстве»

  1. Векторы в пространстве
  2. Координаты точки и вектора
  3. Скалярное произведение. Углы и расстояния