Уравнение с двумя неизвестными. Система

Здесь $a$, $b$, $c$ — данные числа, $x$ и $y$ — неизвестные. $a$ — коэффициент при $x$, $b$ — при $y$, $c$ — свободный член; $ax$, $by$, $c$ — члены уравнения.

Решение — пара чисел $(x_0; y_0)$, при подстановке которой получается верное числовое равенство. Для $2x - 3y + 3 = 0$ пара $(0; 1)$ — решение: $0 - 3 + 3 = 0$.

Такое уравнение имеет бесконечно много решений: подставив любое $x_0$, получим уравнение первой степени относительно $y$ с единственным корнем.

Выразить $y$ через $x$ — решить уравнение относительно $y$ при любом значении $x$. По формуле каждому $x_0$ соответствует своё $y_0$: $x_0 = 0 \Rightarrow y_0 = 1$; $\ x_0 = 3 \Rightarrow y_0 = 3$.

Все решения записывают так: $\left(x;\ \dfrac23x + 1\right)$, где $x$ — любое число.

Если $a \ne 0$, можно выразить и $x$ через $y$: $x = \dfrac{3y - 3}{2}$.

1. а) $(1; -2)$: $2 + 2 + 4 = 8 \ne 0$ — нет. $(0; 4)$: $0 - 4 + 4 = 0$ — да. $(-2; 0)$: $-4 - 0 + 4 = 0$ — да.
2. б) $2y = 3x + 7$, $\ y = 1{,}5x + 3{,}5$.
3. $-2y = -4x - 8$, $\ y = 2x + 4$.

Задача. Разность лет брата и сестры равна $3$, сумма — $15$. Пусть брату $x$ лет, сестре $y$: числа должны удовлетворять обоим уравнениям сразу.

Говорят, что дана система двух уравнений с двумя неизвестными; уравнения пишут в столбик и объединяют фигурной скобкой. Пара $x = 9$, $y = 6$ подходит: брату $9$ лет, сестре $6$.

Решение системы — пара чисел, являющаяся решением каждого уравнения. Решить систему — найти все её решения или доказать, что их нет.

Если коэффициенты при неизвестных отличны от нуля и $a_1 : a_2 = b_1 : b_2$, говорят, что коэффициенты пропорциональны: в системе $x - y + 1 = 0$, $\ 2x - 2y + 3 = 0$ отношения $1 : 2 = (-1) : (-2)$.

Если $a_1 : a_2 \ne b_1 : b_2$ — непропорциональны: $2x - 3y + 1 = 0$, $\ x + 2y + 4 = 0$.

Дальше докажем: система с непропорциональными коэффициентами всегда имеет единственное решение, а с пропорциональными — либо ни одного, либо бесконечно много.

1. а) Первое: $-6 - 3 + 9 = 0$ — верно. Второе: $-9 + 4 + 5 = 0$ — верно. Пара — решение системы.
2. б) $(2; 1)$: $2 - 2 + 4 \ne 0$ — нет. $(1; 2)$: $1 - 4 + 4 \ne 0$ — нет. $(0; 2)$: $0 - 4 + 4 = 0$ и $0 - 2 + 1 \ne 0$ — нет.
3. Пара должна подойти к каждому уравнению; одного недостаточно. (Решение этой системы — $(2; 3)$.)

1. а) $x$ р. — литр молока, $y$ р. — батон: $2x + 3y = 99$. Одно уравнение — решений бесконечно много (цены не определены однозначно).
2. б) $\begin{cases} x - y = 12, \\ x + y = 27 \end{cases}$ — два условия, две неизвестные.
3. Сложив уравнения: $2x = 39$, $x = 19{,}5$, $y = 7{,}5$ — этот приём разберём через урок.

• $ax + by + c = 0$ имеет бесконечно много решений-пар; выразив $y$ через $x$, получим их все.
• Решение системы подходит к каждому уравнению.
• Непропорциональные коэффициенты — единственное решение; пропорциональные — нет решений или бесконечно много.
• Сколько неизвестных — столько обычно нужно независимых условий.