Уравнения и неравенства · 7 класс · урок 3 из 4 · Никольский, «Алгебра 7», § 10, п. 10.4–10.6

Способ уравнивания коэффициентов

Сначала нужно знать: Способ подстановки
Зачем этот урок: Системы ОГЭ без номера, №22 (наименьшее значение суммы квадратов)
Дальше: Задачи с помощью систем уравнений

Системы линейных уравнений · урок 3

Способ сложения

Уравнять коэффициенты и исключить неизвестное

Идея

Умножим первое уравнение на $3$ , второе на $2$ : $6x + 9y + 3 = 0$ , $\ 6x + 8y + 4 = 0$ . Коэффициенты при $x$ уравнялись.

Вычтем из первого второе: $y - 1 = 0$ , $\ y = 1$ . Неизвестное $x$ исключилось.

Подставим в первое исходное: $2x + 3 + 1 = 0$ , $\ x = -2$ . Решение $(-2; 1)$ .

\begin{cases} 2x + 3y + 1 = 0 \quad | \cdot 3 \\ 3x + 4y + 2 = 0 \quad | \cdot 2 \end{cases}

Алгоритм

1) Умножением на числа, не равные нулю, уравнять коэффициенты при одном из неизвестных в обоих уравнениях.
2) Вычесть одно уравнение из другого (если коэффициенты противоположны — сложить).
3) Решить полученное уравнение с одним неизвестным.
4) Подставить найденное значение в любое уравнение системы и найти второе неизвестное.

Никольский, п. 10.4Пример 1

Решите системы: а)

\begin{cases} 6x + 7y + 17 = 0, \\ 4x + 5y + 9 = 0 \end{cases}

; б)

\begin{cases} x + 2y - 3 = 0, \\ -x + 3y - 7 = 0 \end{cases}

а) Первое $\cdot 2$ , второе $\cdot 3$ : $12x + 14y + 34 = 0$ , $\ 12x + 15y + 27 = 0$ . Вычитаем: $y - 7 = 0$ , $\ y = 7$ .
$6x + 49 + 17 = 0$ , $\ x = -11$ .
б) Коэффициенты при $x$ противоположны — складываем: $5y - 10 = 0$ , $\ y = 2$ ; $\ x + 4 - 3 = 0$ , $\ x = -1$ .

Ответ: а) $(-11; 7)$ ; б) $(-1; 2)$

ОГЭ, без номераПример 2

Решите систему

\begin{cases} 3x + 2y = 8, \\ 4x - y = 7 \end{cases}

. В ответ запишите

x + y

Второе уравнение умножим на $2$ : $8x - 2y = 14$ . Коэффициенты при $y$ противоположны — складываем с первым.
$11x = 22$ , $\ x = 2$ ; $\ 4 \cdot 2 - y = 7$ , $\ y = 1$ .
$x + y = 3$ .

Ответ: 3

Пропорциональные коэффициенты

$x + y - 1 = 0$ , $\ 2x + 2y + 3 = 0$ : разделим второе на $2$ : $x + y = -1{,}5$ , а первое даёт $x + y = 1$ . Одно и то же число не может равняться $1$ и $-1{,}5$ — решений нет, система противоречива.
$x + y + 1 = 0$ , $\ 2x + 2y + 2 = 0$ : второе — первое, умноженное на $2$ . Решения системы — все решения одного уравнения: $(x;\ -x - 1)$ , $x$ — любое; бесконечно много.
Подстановка покажет то же: получится $0 \cdot x + 5 = 0$ (нет решений) или $0 \cdot x + 0 = 0$ (любое $x$ ).

Теорема о числе решений

Для системы $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ , $\ a_2x + b_2y + c_2 = 0$ с ненулевыми коэффициентами (Никольский, п. 10.7*). Доказательство: выразить $x$ из первого и подставить во второе — получится $(a_1b_2 - a_2b_1)y = \ldots$ , и всё решает, равен ли нулю коэффициент.

Сверх учебника: решения уравнения $ax + by + c = 0$ на координатной плоскости — прямая (8 класс). Одно решение — прямые пересекаются; нет решений — параллельны; бесконечно много — совпадают.

$\dfrac{a_1}{a_2} \ne \dfrac{b_1}{b_2}$ — решение единственное;
$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} \ne \dfrac{c_1}{c_2}$ — решений нет;
$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2}$ — решений бесконечно много.

Никольский, п. 10.7Пример 3

а) Сколько решений у системы

\begin{cases} 7x - 3y - 13 = 0, \\ 21x - 9y - 39 = 0 \end{cases}

? б) При каком

a

система

\begin{cases} 4x - ay + 3 = 0, \\ x + 2y - 2 = 0 \end{cases}

не имеет решений?

а) $\dfrac{7}{21} = \dfrac{-3}{-9} = \dfrac{-13}{-39} = \dfrac13$ — все отношения равны: бесконечно много решений.
б) Нужно $\dfrac41 = \dfrac{-a}{2}$ , то есть $a = -8$ .
При этом $\dfrac{3}{-2} \ne 4$ — свободные члены не в той же пропорции. Значит, при $a = -8$ решений нет.

Ответ: а) бесконечно много; б) $a = -8$

ОГЭ, задание 22Пример 4

Найдите наименьшее значение выражения

(5x - 4y + 3)^2 + (3x - y - 1)^2

и значения

x

y

, при которых оно достигается.

Сумма квадратов неотрицательна, а нуль получается, только если обе скобки равны нулю: $\begin{cases} 5x - 4y = -3, \\ 3x - y = 1. \end{cases}$
Из второго $y = 3x - 1$ ; $\ 5x - 12x + 4 = -3$ ; $\ x = 1$ , $y = 2$ .
Система имеет решение, значит, нуль достигается: наименьшее значение $0$ при $x = 1$ , $y = 2$ .

Ответ: $0$ ; $x = 1$ , $y = 2$

Главное

Уравниваем коэффициенты при одном неизвестном и вычитаем (противоположные — складываем).
Пропорциональные коэффициенты: свободные члены в той же пропорции — бесконечно много решений, иначе — ни одного.
$\dfrac{a_1}{a_2} \ne \dfrac{b_1}{b_2}$ — решение единственное.
«Наименьшее значение суммы квадратов» — это система «обе скобки равны нулю».

Способ уравнивания коэффициентов

Все уроки станции «Системы линейных уравнений»