Способ подстановки

Пусть $(x_0; y_0)$ — решение. Из первого равенства $y_0 = 2x_0 + 4$. Во втором заменим $y_0$ этим выражением: $3x_0 + 4(2x_0 + 4) - 27 = 0$.

Получили уравнение с одним неизвестным: $11x_0 - 11 = 0$, $\ x_0 = 1$. Тогда $y_0 = 2 \cdot 1 + 4 = 6$.

Проверка подстановкой в оба уравнения подтверждает: $(1; 6)$ — единственное решение.

• 1) Выразить одно неизвестное (например, $y$) через другое из любого уравнения — удобнее то, где коэффициент $\pm 1$.
• 2) Подставить полученное выражение в другое уравнение.
• 3) Решить уравнение с одним неизвестным $x$.
• 4) Подставить найденное $x_0$ в формулу для $y$. Пара $(x_0; y_0)$ — решение системы (для систем с непропорциональными ненулевыми коэффициентами — единственное).

1. Из второго уравнения: $y = 7x + 6$ (коэффициент при $y$ равен $-1$ — выражать удобно).
2. Подставляем в первое: $4x - 5(7x + 6) - 1 = 0$; $\ -31x - 31 = 0$; $\ x = -1$.
3. $y = 7 \cdot (-1) + 6 = -1$.

1. а) $y = 3x$; $\ x - 6x + 10 = 0$; $\ x = 2$, $y = 6$.
2. б) $x = y + 2$; $\ 5(y + 2) + y - 4 = 0$; $\ 6y + 6 = 0$; $\ y = -1$, $x = 1$.
3. Иногда удобнее выразить $x$, а не $y$ — выбираем, где меньше дробей.

1. Из второго: $y = 5 - 2x$.
2. $4x - 2(5 - 2x) = 2$; $\ 8x - 10 = 2$; $\ x = 1{,}5$; $\ y = 5 - 3 = 2$.
3. $x + y = 3{,}5$.

1. Из первого: $y = 3x + 1$.
2. $-x + 2(3x + 1) = 7$; $\ 5x = 5$; $\ x = 1$, $y = 4$.
3. $x + y = 5$.

Подстановка работает и для трёх уравнений с тремя неизвестными (Никольский, п. 10.8*): из одного уравнения выражаем одно неизвестное через два других и подставляем в два оставшихся — получаем систему двух уравнений.

Пример: из $x - y + z = 0$ (третье уравнение системы учебника) $x = y - z$; после подстановки в $2x - 3y + z - 1 = 0$ и $3x - 4y - z + 2 = 0$ получаем $-y - z - 1 = 0$, $\ -y - 4z + 2 = 0$.

Отсюда $z = 1$, $y = -2$, $x = -3$. Так же решают системы из четырёх, пяти уравнений.

• Выражаем неизвестное с коэффициентом $\pm 1$, подставляем в другое уравнение.
• Получаем линейное уравнение с одним неизвестным; второе неизвестное — из формулы.
• Ответ — пара чисел $(x; y)$; полезно проверить её в обоих уравнениях.
• Подстановка сводит систему из $n$ уравнений к системе из $n - 1$.