Уравнения и неравенства · 7 класс · урок 4 из 4 · Никольский, «Алгебра 7», § 10, п. 10.9

Задачи с помощью систем уравнений

Выход к заданиям: ОГЭ №21, ЕГЭ №11

Сначала нужно знать
Способы подстановки и сложения
Зачем этот урок
ОГЭ, задание 21: смеси, движение, работа, покупки
Дальше
Системы рациональных уравнений (8 класс)
Системы линейных уравнений · урок 4
Задачи на системы
Две неизвестные — два условия
Когда нужна система
  • Если в задаче две неизвестные величины и два независимых условия, удобно обозначить обе и записать каждое условие своим уравнением.
  • Одним уравнением тоже можно, но тогда сразу придётся выражать одну неизвестную через другую — по сути, делать подстановку в уме.
  • Три неизвестные — три уравнения (задача 3). Проверяем: число уравнений равно числу неизвестных, и условия не повторяют друг друга.
Никольский, п. 10.9Задача 1
Иван говорит Петру: «Отдай мне одну овцу — у меня станет вдвое больше, чем у тебя». Пётр: «Лучше ты отдай мне одну — будет поровну». Сколько овец у каждого?
  1. У Ивана xx, у Петра yy овец. Первое условие: x+1=2(y−1)x + 1 = 2(y - 1); второе: x−1=y+1x - 1 = y + 1.
  2. Из первого x=2y−3x = 2y - 3. Подставим во второе: 2y−3−1=y+12y - 3 - 1 = y + 1,  y=5\ y = 5.
  3. x=7x = 7. Проверка: 8=2⋅48 = 2 \cdot 4 и 6=66 = 6.
Ответ: у Ивана 77, у Петра 55
Никольский, п. 10.9Задача 2
Из AA в BB выехал велосипедист, через четверть часа — автомобилист. На половине пути автомобилист догнал велосипедиста, а когда автомобилист прибыл в BB, велосипедисту осталась треть пути. За какое время каждый проезжает путь ABAB?
  1. Велосипедист — xx мин на весь путь, автомобилист — yy мин. На половине пути они одновременно, хотя автомобилист выехал на 1515 мин позже: 12x−12y=15\dfrac12x - \dfrac12y = 15.
  2. Когда автомобилист в BB, велосипедист в пути y+15y + 15 мин и проехал 23\dfrac23 пути: y+15=23xy + 15 = \dfrac23x.
  3. Получаем x−y=30x - y = 30,  3y+45=2x\ 3y + 45 = 2x. Подставим x=y+30x = y + 30: 3y+45=2y+603y + 45 = 2y + 60,  y=15\ y = 15, x=45x = 45.
Ответ: велосипедист 4545 мин, автомобилист 1515 мин
Никольский, п. 10.9Задача 3
Учебник, авторучка и дневник стоят 140140 р. Если бы учебник был в 55 раз дешевле, ручка в 22, дневник в 2,52{,}5 раза — вышло бы 4040 р.; если бы учебник был в 33 раза дешевле, ручка в 44, дневник в 22 — 5050 р. Сколько стоит каждая вещь?
  1. x+y+z=140x + y + z = 140;  x5+y2+z2,5=40\ \dfrac x5 + \dfrac y2 + \dfrac{z}{2{,}5} = 40;  x3+y4+z2=50\ \dfrac x3 + \dfrac y4 + \dfrac z2 = 50. Умножим второе на 1010, третье на 1212: 2x+5y+4z=4002x + 5y + 4z = 400,  4x+3y+6z=600\ 4x + 3y + 6z = 600.
  2. z=140−x−yz = 140 - x - y:  2x+5y+560−4x−4y=400\ 2x + 5y + 560 - 4x - 4y = 400, то есть −2x+y=−160-2x + y = -160;  4x+3y+840−6x−6y=600\ 4x + 3y + 840 - 6x - 6y = 600, то есть −2x−3y=−240-2x - 3y = -240.
  3. Вычитаем: 4y=804y = 80, y=20y = 20;  x=90\ x = 90;  z=30\ z = 30.
Ответ: учебник 9090 р., ручка 2020 р., дневник 3030 р.
Никольский, № 745Пример 1
Школа купила 44 кресла и 22 стола за 36 00036\,000 р. 22 кресла и 33 стола стоили бы на 14 00014\,000 р. меньше. Сколько стоят кресло и стол?
  1. Кресло xx р., стол yy р.: {4x+2y=36 000,2x+3y=22 000.\begin{cases} 4x + 2y = 36\,000, \\ 2x + 3y = 22\,000. \end{cases}
  2. Второе ⋅2\cdot 2: 4x+6y=44 0004x + 6y = 44\,000; вычитаем первое: 4y=80004y = 8000, y=2000y = 2000.
  3. 4x=36 000−4000=32 0004x = 36\,000 - 4000 = 32\,000, x=8000x = 8000.
Ответ: кресло 80008000 р., стол 20002000 р.
ОГЭ, задание 21Пример 2
Имеются два сосуда с 1010 кг и 1616 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить, получится раствор с 55%55\% кислоты. Если слить равные массы этих растворов — 61%61\%. Сколько килограммов кислоты в первом растворе?
  1. Концентрации xx и yy (доли). Кислоты всего: 10x+16y=0,55⋅26=14,310x + 16y = 0{,}55 \cdot 26 = 14{,}3.
  2. Равные массы mm: mx+my=0,61⋅2mmx + my = 0{,}61 \cdot 2m, то есть x+y=1,22x + y = 1{,}22.
  3. y=1,22−xy = 1{,}22 - x: 10x+19,52−16x=14,310x + 19{,}52 - 16x = 14{,}3;  6x=5,22\ 6x = 5{,}22;  x=0,87\ x = 0{,}87. Кислоты в первом: 10⋅0,87=8,710 \cdot 0{,}87 = 8{,}7 кг.
Ответ: 8,7
Главное
  • Две неизвестные — два уравнения; каждое условие задачи — своё уравнение.
  • В смесях составляем уравнения по массе вещества: масса×концентрация\text{масса} \times \text{концентрация}.
  • Решаем подстановкой или сложением — как удобнее.
  • Отвечаем на вопрос задачи (иногда нужно не xx, а, например, 10x10x).

Все уроки станции «Системы линейных уравнений»

  1. Уравнение с двумя неизвестными. Система
  2. Способ подстановки
  3. Способ уравнивания коэффициентов
  4. Задачи с помощью систем уравнений