Тепловые явления · 10 класс · урок 5 из 5 · Мякишев, «Физика 10» (2019), гл. 7, § 51–52

Тепловые машины. Цикл Карно

Выход к заданиям: ЕГЭ №8, ЕГЭ №9, ЕГЭ №10, ЕГЭ №18, ЕГЭ №23, ЕГЭ №24

Сначала нужно знать: Первый и второй законы термодинамики, работа газа по графику
Зачем этот урок: ЕГЭ №8 и №24: КПД тепловой машины, предельный КПД Карно, КПД цикла по pV-диаграмме
Дальше: Агрегатные состояния и влажность

Основы термодинамики · урок 5

Предел, который не перепрыгнуть

Тепловой двигатель

Тепловой двигатель — устройство, превращающее внутреннюю энергию топлива в механическую работу. Паровые и газовые турбины, двигатели внутреннего сгорания, реактивные двигатели.

Любой тепловой двигатель состоит из трёх частей: нагреватель (температура $T_1$ ), рабочее тело (газ или пар, совершает работу при расширении), холодильник (атмосфера или конденсатор, температура $T_2$ ).

Почему нужен холодильник: чтобы двигатель работал циклами, газ надо вернуть в начальное состояние. Сжимать его выгодно холодным — при меньшем давлении работа сжатия меньше работы расширения.

КПД теплового двигателя

За цикл $\Delta U = 0$ . Рабочее тело получает от нагревателя $Q_1$ , отдаёт холодильнику $|Q_2|$ , совершает работу $A' = Q_1 - |Q_2|$ .

\eta = \frac{A'}{Q_1} = \frac{Q_1 - |Q_2|}{Q_1} = 1 - \frac{|Q_2|}{Q_1}.

$|Q_2| > 0$ всегда — следовательно, $\eta < 1$ .
КПД цикла на $pV$ -диаграмме: $A'$ — площадь внутри цикла, $Q_1$ — сумма теплоты на тех участках, где газ её получает.
КПД реальных двигателей: паровая турбина около $40\%$ , бензиновый ДВС около $30\%$ , дизель около $40\%$ .

Цикл Карно

Сади Карно (1824) нашёл идеальный цикл: газ получает теплоту только при температуре нагревателя и отдаёт только при температуре холодильника. Цикл состоит из двух изотерм и двух адиабат.

$1$ – $2$ : изотермическое расширение при $T_1$ — газ получает $Q_1$ ;
$2$ – $3$ : адиабатное расширение — газ охлаждается до $T_2$ ;
$3$ – $4$ : изотермическое сжатие при $T_2$ — газ отдаёт $|Q_2|$ ;
$4$ – $1$ : адиабатное сжатие — газ нагревается до $T_1$ .

Максимальный КПД

Карно доказал: КПД идеальной машины зависит только от температур нагревателя и холодильника и не зависит от рабочего тела:

\eta_{\max} = \frac{T_1 - T_2}{T_1} = 1 - \frac{T_2}{T_1}.

Никакая реальная тепловая машина с теми же $T_1$ и $T_2$ не может иметь КПД больше, чем у машины Карно.
Температуры — только в кельвинах.
Повысить КПД: поднять $T_1$ или понизить $T_2$ . Холодильник ниже температуры атмосферы не сделать, $T_1$ ограничена жаропрочностью материалов.
Пример: $T_1 = 800$ К, $T_2 = 300$ К дают $\eta_{\max} \approx 62\%$ ; реальный КПД паровой турбины при этом около $40\%$ .

Холодильная машина и экология

Цикл, пройденный в обратную сторону, переносит теплоту от холодного тела к горячему за счёт работы: так устроены холодильник и тепловой насос. Его эффективность $\varepsilon = \dfrac{|Q_2|}{A}$ , для цикла Карно $\varepsilon = \dfrac{T_2}{T_1 - T_2}$ .

Тепловые двигатели неизбежно отдают теплоту холодильнику — атмосфере: тепловое загрязнение.
Сгорание топлива расходует кислород и даёт углекислый газ, оксиды азота и серы.
Пути решения: повышение КПД, очистка выхлопа, переход на электротранспорт и альтернативные источники энергии.

ЕГЭ, задание 8Пример 1

Тепловая машина за цикл получает от нагревателя

50

кДж и совершает работу

20

кДж. Чему равен КПД? Ответ в процентах.

$\eta = \dfrac{A'}{Q_1} = \dfrac{20}{50} = 40\%$ .

Ответ: 40

ЕГЭ, задание 8Пример 2

Тепловая машина с КПД

60\%

за цикл отдаёт холодильнику

100

Дж. Какое количество теплоты за цикл она получает от нагревателя? Ответ в Дж.

$\eta = 1 - \dfrac{|Q_2|}{Q_1} \Rightarrow Q_1 = \dfrac{|Q_2|}{1 - \eta} = \dfrac{100}{0{,}4} = 250$ Дж.

Ответ: 250

ЕГЭ, задание 8Пример 3

Температура нагревателя тепловой машины

900

К, температура холодильника на

300

К меньше. Каков максимально возможный КПД? Ответ в процентах, округлите до целых.

$T_2 = 600$ К.
$\eta_{\max} = \dfrac{T_1 - T_2}{T_1} = \dfrac{300}{900} = \dfrac13 \approx 33\%$ .

Ответ: 33

ЕГЭ, задание 8Пример 4

Температура в топке паровой машины

1200

°C, холодильник — атмосфера при

20

°C. Определите максимальный теоретически возможный КПД. Ответ в процентах, округлите до целых.

$T_1 = 1473$ К, $T_2 = 293$ К.
$\eta_{\max} = 1 - \dfrac{293}{1473} \approx 80\%$ .

Ответ: 80

ЕГЭ, задание 8Пример 5

Идеальный двигатель, работающий по циклу Карно, имеет КПД

60\%

. Каким станет КПД, если температуру холодильника увеличить в

1{,}5

раза, а нагревателя оставить прежней? Ответ в процентах.

$\dfrac{T_2}{T_1} = 1 - \eta_1 = 0{,}4$ .
$\eta_2 = 1 - 1{,}5 \cdot 0{,}4 = 40\%$ .

Ответ: 40

Мякишев, § 51Пример 6

КПД тепловой машины

40\%

. Каким он станет, если количество теплоты от нагревателя увеличить на

20\%

, а отдаваемое холодильнику уменьшить на

10\%

$\dfrac{|Q_2|}{Q_1} = 1 - 0{,}4 = 0{,}6$ .
$\eta' = 1 - \dfrac{0{,}9|Q_2|}{1{,}2Q_1} = 1 - \dfrac{0{,}9 \cdot 0{,}6}{1{,}2} = 55\%$ .

Ответ: 55 %

ЕГЭ, задание 24Пример 7

На

pV

-диаграмме показан цикл с

\nu = 4

моль разреженного гелия; за цикл гелий получает от нагревателя

Q_{\text{нагр}} = 120

кДж. Найдите температуру

T_2

в состоянии

2

. Ответ в К, округлите до целых.

Где газ получает теплоту? $1$ – $2$ — изохора, давление выросло вдвое: $T_1 = \dfrac{T_2}{2}$ , $Q_{12} = \dfrac32\nu R(T_2 - T_1) = \dfrac34\nu RT_2 > 0$ .
$2$ – $3$ : $p_0V_0 = \nu RT_1 = \dfrac12\nu RT_2$ . Работа — площадь трапеции: $A_{23} = \dfrac{2p_0 + 3p_0}{2} \cdot 3V_0 = \dfrac{15}{2}p_0V_0 = \dfrac{15}{4}\nu RT_2$ .
$T_3 = \dfrac{3p_0 \cdot 4V_0}{\nu R} = 12 \cdot \dfrac{T_2}{2} = 6T_2$ ; $\Delta U_{23} = \dfrac32\nu R \cdot 5T_2 = \dfrac{30}{4}\nu RT_2$ ; $Q_{23} = \dfrac{45}{4}\nu RT_2 > 0$ .
$3$ – $1$ : объём и температура уменьшаются — газ теплоту отдаёт. Итого $Q_{\text{нагр}} = Q_{12} + Q_{23} = 12\nu RT_2$ .
$T_2 = \dfrac{120\,000}{12 \cdot 4 \cdot 8{,}31} \approx 301$ К.

Ответ: 301

Главное

Тепловой двигатель: нагреватель, рабочее тело, холодильник.
$\eta = \dfrac{A'}{Q_1} = 1 - \dfrac{|Q_2|}{Q_1} < 1$ .
Цикл Карно — две изотермы и две адиабаты; $\eta_{\max} = 1 - \dfrac{T_2}{T_1}$ , температуры в кельвинах.
КПД цикла по графику: работа — площадь цикла, $Q_1$ — только участки, где газ получает теплоту.
Задача из учебника: машина Карно с $T_1 = 400$ К и $T_2 = 300$ К имеет $\eta = 25\%$ .

Тепловые машины. Цикл Карно

Все уроки станции «Основы термодинамики»