Понятие вектора

Сила, перемещение, скорость характеризуются не только числом, но и направлением — это векторные величины. Масса, время, температура, площадь, работа — только числом (скалярные).

Силу изображают отрезком со стрелкой: стрелка — направление, длина в выбранном масштабе — величина. Если $1$ Н изображён отрезком $0{,}6$ см, то $8$ Н — отрезком $4{,}8$ см.

Отвлекаясь от физики, приходим к геометрическому понятию вектора.

• Отрезок, у которого указано, какая граничная точка — начало, а какая — конец, называется направленным отрезком или вектором. Обозначения: $\overrightarrow{AB}$ (начало $A$, конец $B$) или $\vec a$.
• Любая точка тоже считается вектором — нулевым: $\overrightarrow{MM} = \vec 0$, начало совпадает с концом.
• Длина (модуль) ненулевого вектора $\overrightarrow{AB}$ — длина отрезка $AB$: $|\overrightarrow{AB}|$. Длина нулевого вектора $0$.
• На рисунке (клетка $1$): $|\overrightarrow{AB}| = 6$, $|\overrightarrow{EF}| = 2$, $|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}$.

• Ненулевые векторы коллинеарны, если лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому.
• Коллинеарные векторы направлены одинаково — сонаправлены ($\vec a \uparrow\uparrow \vec b$) — или противоположно ($\vec a \uparrow\downarrow \vec c$).
• Нулевой вектор не имеет определённого направления; условились считать его сонаправленным с любым вектором.

1. $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{DC}| = 3$, $|\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{CB}| = 4$, $|\overrightarrow{MA}| = 1{,}5$ см.
2. $|\overrightarrow{MC}| = \sqrt{1{,}5^2 + 4^2} = \sqrt{18{,}25} = \dfrac{\sqrt{73}}{2}$ см (прямоугольный $\triangle MBC$).
3. $|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ см.

1. а) $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$: сонаправлены, $AB = DC$. $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{DA}$ противоположно направлены — не равны. $\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{OC}$: диагонали делятся пополам.
2. б) Первое верно (по определению). Второе неверно: сонаправленные векторы могут иметь разные длины.

1. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам: половинки $6$ и $8$ — катеты прямоугольного треугольника со стороной ромба в роли гипотенузы.
2. $|\overrightarrow{AD}| = AD = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$.

• Вектор — направленный отрезок; нулевой вектор — точка.
• Длина вектора — длина отрезка; $|\vec 0| = 0$.
• Коллинеарные: на одной или параллельных прямых; сонаправленные или противоположно направленные.
• Равные векторы — сонаправлены и одной длины; от любой точки откладывается ровно один равный данному.