Геометрия · 9 класс · урок 2 из 3 · Атанасян, «Геометрия 7–9», гл. IX, § 2

Сложение и вычитание векторов

Выход к заданиям: ЕГЭ №2

Сначала нужно знать
Понятие вектора
Зачем этот урок
ЕГЭ №2: длина суммы и разности векторов — заменяем сумму одним вектором по правилу треугольника
Дальше
Умножение вектора на число
Векторы · урок 2
Сложение и вычитание векторов
Правила треугольника, параллелограмма и многоугольника
Сумма двух векторов
ABCaba + b

Тело переместилось из AA в BB, затем из BB в CC — итоговое перемещение AC→\overrightarrow{AC}. Так и определяют сумму.

Правило треугольника. От произвольной точки AA откладываем AB→=a⃗\overrightarrow{AB} = \vec a, от точки BB — BC→=b⃗\overrightarrow{BC} = \vec b. Вектор AC→\overrightarrow{AC} — сумма a⃗+b⃗\vec a + \vec b.

Сумма не зависит от выбора точки AA: если AB→=A1B1→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A_1B_1} и BC→=B1C1→\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{B_1C_1}, то ABB1A1ABB_1A_1, BCC1B1BCC_1B_1, а затем AA1C1CAA_1C_1C — параллелограммы, и AC→=A1C1→\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{A_1C_1}.

a⃗+0⃗=a⃗\vec a + \vec 0 = \vec a; равенство AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} верно для любых точек.

AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}
Законы сложения. Правило параллелограмма
ABDC
  • 1°. a⃗+b⃗=b⃗+a⃗\vec a + \vec b = \vec b + \vec a (переместительный). Отложим AB→=a⃗\overrightarrow{AB} = \vec a, AD→=b⃗\overrightarrow{AD} = \vec b, достроим параллелограмм ABCDABCD: AC→=AB→+BC→=a⃗+b⃗\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \vec a + \vec b и AC→=AD→+DC→=b⃗+a⃗\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} = \vec b + \vec a.
  • 2°. (a⃗+b⃗)+c⃗=a⃗+(b⃗+c⃗)(\vec a + \vec b) + \vec c = \vec a + (\vec b + \vec c) (сочетательный): обе части равны AD→\overrightarrow{AD}, если AB→=a⃗\overrightarrow{AB} = \vec a, BC→=b⃗\overrightarrow{BC} = \vec b, CD→=c⃗\overrightarrow{CD} = \vec c.
  • Правило параллелограмма: сумма неколлинеарных векторов, отложенных от одной точки, — диагональ параллелограмма, построенного на них. Так в физике складывают силы.
Сумма нескольких векторов
A₁Aₙ
  • Векторы складывают по очереди; от порядка сумма не зависит.
  • Правило многоугольника: A1A2→+A2A3→+…+An−1An→=A1An→\overrightarrow{A_1A_2} + \overrightarrow{A_2A_3} + \ldots + \overrightarrow{A_{n-1}A_n} = \overrightarrow{A_1A_n} — для любых точек.
  • Если конец последнего вектора совпал с началом первого (замкнутая ломаная), сумма равна 0⃗\vec 0: AB→+BC→+CD→+DA→=0⃗\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \vec 0 (№ 761).
Вычитание векторов
OABaba − b
  • Разность a⃗−b⃗\vec a - \vec b — такой вектор, сумма которого с b⃗\vec b равна a⃗\vec a.
  • Построение: отложим от точки OO векторы OA→=a⃗\overrightarrow{OA} = \vec a, OB→=b⃗\overrightarrow{OB} = \vec b. Тогда b⃗+BA→=a⃗\vec b + \overrightarrow{BA} = \vec a, то есть BA→=a⃗−b⃗\overrightarrow{BA} = \vec a - \vec b: разность идёт от конца вычитаемого к концу уменьшаемого.
  • Вектор −a⃗-\vec a — противоположный: той же длины, противоположного направления; a⃗+(−a⃗)=0⃗\vec a + (-\vec a) = \vec 0, BA→=−AB→\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}.
  • Теорема. a⃗−b⃗=a⃗+(−b⃗)\vec a - \vec b = \vec a + (-\vec b): к обеим частям (a⃗−b⃗)+b⃗=a⃗(\vec a - \vec b) + \vec b = \vec a прибавляем −b⃗-\vec b.
Атанасян, № 762Пример 1
Сторона равностороннего треугольника ABCABC равна aa. Найдите ∣AB→+BC→∣|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}|, ∣AB→+AC→∣|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}|, ∣BA→−BC→∣|\overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC}|, ∣AB→−AC→∣|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}|.
  1. AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}: длина aa.
  2. AB→+AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} — диагональ ромба, построенного на сторонах, то есть удвоенная медиана: 2⋅a32=a32 \cdot \dfrac{a\sqrt3}{2} = a\sqrt3.
  3. BA→−BC→=CA→\overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CA},  AB→−AC→=CB→\ \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB} — обе длины aa.
Ответ: aa, a3a\sqrt3, aa, aa
Атанасян, № 767Пример 2
Дан треугольник ABCABC. Выразите через a⃗=AB→\vec a = \overrightarrow{AB} и b⃗=AC→\vec b = \overrightarrow{AC} векторы BA→\overrightarrow{BA}, CB→\overrightarrow{CB}, CB→+BA→\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA}.
  1. BA→=−a⃗\overrightarrow{BA} = -\vec a (противоположные).
  2. CB→=CA→+AB→=−b⃗+a⃗=a⃗−b⃗\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} = -\vec b + \vec a = \vec a - \vec b.
  3. CB→+BA→=CA→=−b⃗\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CA} = -\vec b.
Ответ: −a⃗-\vec a; a⃗−b⃗\vec a - \vec b; −b⃗-\vec b
ЕГЭ, задание 2Пример 3
ABCDO
Диагонали ромба ABCDABCD пересекаются в точке OO и равны 1212 и 1616. Найдите длину вектора AO→+BO→\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{BO}.
  1. OO — середина BDBD, поэтому BO→=OD→\overrightarrow{BO} = \overrightarrow{OD}.
  2. AO→+BO→=AO→+OD→=AD→\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{BO} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{AD}.
  3. ∣AD→∣=62+82=10|\overrightarrow{AD}| = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10.
Ответ: 10
ЕГЭ, задание 2Пример 4
Стороны правильного треугольника ABCABC равны 33. Найдите длину вектора AB→−AC→\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}.
  1. AB→−AC→=CB→\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB} — от конца вычитаемого к концу уменьшаемого.
  2. ∣CB→∣=3|\overrightarrow{CB}| = 3.
Ответ: 3
Главное
  • AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} — правило треугольника; диагональ параллелограмма — правило параллелограмма.
  • Сумма коммутативна и ассоциативна; цепочка векторов складывается в вектор от начала до конца.
  • OA→−OB→=BA→\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}; a⃗−b⃗=a⃗+(−b⃗)\vec a - \vec b = \vec a + (-\vec b).
  • В ЕГЭ №2 сначала превратите сумму или разность в один вектор, потом ищите его длину.

Все уроки станции «Векторы»

  1. Понятие вектора
  2. Сложение и вычитание векторов
  3. Умножение вектора на число