Умножение вектора на число

• Произведением ненулевого вектора $\vec a$ на число $k$ называется вектор $\vec b$ длины $|k| \cdot |\vec a|$, сонаправленный с $\vec a$ при $k \ge 0$ и противоположно направленный при $k < 0$. $0 \cdot \vec a = \vec 0$, $k \cdot \vec 0 = \vec 0$.
• Векторы $\vec a$ и $k\vec a$ всегда коллинеарны. Обратно: если $\vec b \parallel \vec a$ и $\vec a \ne \vec 0$, то $\vec b = k\vec a$ для некоторого $k$.
• Пример: скорость второй машины вдвое больше и в ту же сторону — $2\vec v$; встречной с той же скоростью — $-2\vec v$.

• 1°. $(kl)\vec a = k(l\vec a)$ — сочетательный.
• 2°. $(k + l)\vec a = k\vec a + l\vec a$ — первый распределительный.
• 3°. $k(\vec a + \vec b) = k\vec a + k\vec b$ — второй распределительный (треугольники $OAB$ и $OA_1B_1$ подобны с коэффициентом $k$).
• Поэтому векторные выражения преобразуют как числовые: $2(\vec a - \vec b) + (\vec c + \vec a) - 3(\vec b - \vec c + \vec a) = -5\vec b + 4\vec c$.

Задача 1. $C$ — середина $AB$, $O$ — любая точка. $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BC}$. Складываем: $2\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC})$, а $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} = \vec 0$.

Задача 2. Прямая через середины оснований трапеции проходит через точку $O$ пересечения продолжений боковых сторон: $\overrightarrow{ON} = k\overrightarrow{OM}$ — векторы коллинеарны, точки на одной прямой.

1. а) $\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{MA} = -\vec a$; $\ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN} = \vec b - \vec a$; $\ \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AN} = \vec b - 2\vec a$.
2. б) $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \vec b + \dfrac34 \overrightarrow{BC} = \vec b + \dfrac34 \vec a$.

1. Средняя линия — полусумма оснований: $\dfrac{3 + 9}{2} = 6$. Высота не нужна.

1. Диагональ делит трапецию на два треугольника; части средней линии — их средние линии.
2. Одна часть равна половине меньшего основания, $2$, другая — половине большего, $5$.
3. Больший отрезок — $5$ (вместе $7 = \dfrac{4 + 10}{2}$).

• $|k\vec a| = |k||\vec a|$; при $k > 0$ направление то же, при $k < 0$ — противоположное.
• Векторные выражения упрощают по обычным правилам алгебры.
• Середина отрезка: $\overrightarrow{OC} = \dfrac12(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$.
• Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.