Объём параллелепипеда, призмы и цилиндра

Теорема. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений.

Доказательство. Если $a, b, c$ — конечные десятичные дроби с $n$ знаками, разобьём рёбра на части $\dfrac{1}{10^n}$: получится $abc \cdot 10^{3n}$ кубиков объёмом $\dfrac{1}{10^{3n}}$, всего $abc$.

Иначе берём приближения $a_n \le a \le a_n'$ (отбрасываем знаки после $n$-го, $a_n' = a_n + \dfrac1{10^n}$): параллелепипед содержит $P_n$ и содержится в $P_n'$, поэтому $a_nb_nc_n \le V \le a_n'b_n'c_n'$; при $n \to \infty$ границы сходятся к $abc$.

Следствие 1. $V = Sh$: площадь основания на высоту. Следствие 2. То же верно для прямой призмы с прямоугольным треугольником в основании — она половина прямоугольного параллелепипеда.

Теорема. Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту.

Доказательство. Треугольную призму высота $BD$ основания делит на две призмы с прямоугольными треугольниками в основаниях: $V = S_{ABD}h + S_{BDC}h = S_{ABC}h$. Любую прямую призму разбиваем на треугольные с той же высотой и складываем.

Теорема. Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту. Впишем в цилиндр правильную $n$-угольную призму $P_n$ и опишем $Q_n$: $S_nh < V < \dfrac{S_n h}{\cos^2 \frac{180^\circ}{n}}$. При $n \to \infty$ $S_n \to \pi r^2$, $\cos\dfrac{180^\circ}{n} \to 1$, поэтому $V = \pi r^2 h$.