Объём пирамиды и конуса

Теорема. Объём пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту.

Доказательство (треугольная пирамида $OABC$). Ось $Ox$ — вдоль высоты $OM$. Сечение $A_1B_1C_1$ на расстоянии $x$ от $O$ подобно $ABC$: $\dfrac{A_1B_1}{AB} = \dfrac{OA_1}{OA} = \dfrac{OM_1}{OM} = \dfrac xh$, поэтому $S(x) = S\dfrac{x^2}{h^2}$.

$V = \int_0^h \dfrac{S}{h^2}x^2\,dx = \dfrac{S}{h^2} \cdot \dfrac{h^3}{3} = \dfrac13 Sh$. Любую пирамиду разбиваем на треугольные с общей высотой.

Следствие. Усечённая пирамида — разность пирамид, отсюда формула с $S$, $S_1$ и $\sqrt{SS_1}$.

Теорема. Объём конуса равен трети произведения площади основания на высоту.

Доказательство. Ось $Ox$ — из вершины $O$ по оси конуса. Сечение на расстоянии $x$ — круг радиуса $R_1$; из подобия $\triangle OM_1A_1 \sim \triangle OMA$: $R_1 = \dfrac{xR}{h}$, $S(x) = \dfrac{\pi R^2}{h^2}x^2$.

$V = \int_0^h \dfrac{\pi R^2}{h^2} x^2\,dx = \dfrac13 \pi R^2 h$.

Следствие. Объём усечённого конуса $\dfrac13 h(S + S_1 + \sqrt{SS_1})$, то есть $\dfrac13 \pi h(R^2 + RR_1 + R_1^2)$.

Отсечённая плоскостью, параллельной основанию, часть подобна всему телу: при коэффициенте $k$ объёмы относятся как $k^3$.