Геометрия · 11 класс · урок 3 из 3 · Атанасян, «Геометрия 10–11», гл. V, § 4

Объём шара и площадь сферы

Выход к заданиям: ЕГЭ №3, ЕГЭ №15

Сначала нужно знать
Объём пирамиды и конуса
Зачем этот урок
ЕГЭ №3: объём шара и его частей, площадь сферы, шар в цилиндре и кубе
Дальше
Векторы в пространстве
Объёмы тел · урок 3
Объём шара и площадь сферы
Шар, сегмент, слой, сектор; вывод формулы площади сферы
Объём шара
xMCRrOAB

Доказательство. Ось OxOx — по диаметру ABAB, начало в центре OO. Сечение плоскостью через точку MM с координатой xx — круг радиуса r=R2−x2r = \sqrt{R^2 - x^2} (из прямоугольного △OMC\triangle OMC).

S(x)=π(R2−x2)S(x) = \pi(R^2 - x^2) при −R≤x≤R-R \le x \le R.

V=∫−RRπ(R2−x2) dx=π(R2x−x33)∣−RR=π(2R3−2R33)=43πR3V = \int_{-R}^{R} \pi(R^2 - x^2)\,dx = \pi\left(R^2x - \dfrac{x^3}{3}\right)\Big|_{-R}^{R} = \pi\left(2R^3 - \dfrac{2R^3}{3}\right) = \dfrac43 \pi R^3.

V=43πR3V = \frac43 \pi R^3
Сегмент, слой, сектор
hORшаровой сегментhORшаровой сектор
Vсегм=πh2(R−13h),Vсект=23πR2hV_{\text{сегм}} = \pi h^2\left(R - \frac13 h\right), \qquad V_{\text{сект}} = \frac23 \pi R^2 h
  • Шаровой сегмент — часть шара, отсекаемая плоскостью; круг сечения — основание, отрезок диаметра, перпендикулярного плоскости, — высота hh. Формула — интеграл ∫R−hRπ(R2−x2) dx\int_{R - h}^{R} \pi(R^2 - x^2)\,dx.
  • Шаровой слой — часть шара между двумя параллельными плоскостями: разность двух сегментов.
  • Шаровой сектор — тело вращения кругового сектора (угол <90∘< 90^\circ) вокруг одного из его радиусов: шаровой сегмент плюс конус; hh — высота сегмента.
Площадь сферы
S=4πR2S = 4\pi R^2
  • Опишем около сферы многогранник с nn гранями S1,…,SnS_1, \ldots, S_n. Соединив центр с вершинами, разобьём его на nn пирамид с высотой RR (радиус в точку касания перпендикулярен грани).
  • Объём многогранника Vn=∑13SiR=13RPnV_n = \sum \dfrac13 S_i R = \dfrac13 R P_n, где PnP_n — площадь поверхности. Отсюда Pn=3VnRP_n = \dfrac{3V_n}{R}.
  • Если наибольший размер граней ≤δ\le \delta, многогранник лежит между шарами радиусов RR и R+δR + \delta: Vn→43πR3V_n \to \dfrac43 \pi R^3 при δ→0\delta \to 0.
  • Значит, S=lim⁡Pn=3R⋅43πR3=4πR2S = \lim P_n = \dfrac{3}{R} \cdot \dfrac43 \pi R^3 = 4\pi R^2. Заодно: объём шара равен трети площади сферы на радиус.
Атанасян, № 503, 512Пример 1
а) Найдите SS и VV шара радиуса 44 см; найдите RR и VV, если S=64πS = 64\pi см2^2. б) Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит его на части 66 см и 1212 см. Найдите объёмы двух частей шара.
  1. а) S=4π⋅16=64πS = 4\pi \cdot 16 = 64\pi см2^2, V=43π⋅64=256π3V = \dfrac43 \pi \cdot 64 = \dfrac{256\pi}{3} см3^3. Если S=64πS = 64\pi, то R2=16R^2 = 16, R=4R = 4 — тот же шар.
  2. б) R=9R = 9. Сегмент высотой 66: π⋅36⋅(9−2)=252π\pi \cdot 36 \cdot (9 - 2) = 252\pi см3^3; высотой 1212: π⋅144⋅(9−4)=720π\pi \cdot 144 \cdot (9 - 4) = 720\pi см3^3.
  3. Проверка: 252π+720π=972π=43π⋅729252\pi + 720\pi = 972\pi = \dfrac43 \pi \cdot 729.
Ответ: а) 64π64\pi см2^2, 256π3\dfrac{256\pi}3 см3^3; 44 см; б) 252π252\pi и 720π720\pi см3^3
Атанасян, № 508, 510Пример 2
а) Клумба — шаровой сегмент с радиусом основания 55 м и высотой 6060 см. Сколько кубометров земли нужно? б) Радиус основания шарового сегмента 6060 см, радиус шара 7575 см. Найдите объём сегмента.
  1. а) Радиус шара из r2=h(2R−h)r^2 = h(2R - h): 25=0,6(2R−0,6)25 = 0{,}6(2R - 0{,}6), R=12(250,6+0,6)≈21,13R = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{25}{0{,}6} + 0{,}6\right) \approx 21{,}13 м. V=πh2(R−h3)=πh6(3r2+h2)=0,1π⋅75,36≈23,7V = \pi h^2\left(R - \dfrac h3\right) = \dfrac{\pi h}{6}(3r^2 + h^2) = 0{,}1\pi \cdot 75{,}36 \approx 23{,}7 м3^3.
  2. б) Расстояние от центра до основания 752−602=45\sqrt{75^2 - 60^2} = 45, высоты сегментов 3030 и 120120.
  3. V1=π⋅900⋅(75−10)=58 500πV_1 = \pi \cdot 900 \cdot (75 - 10) = 58\,500\pi см3^3; V2=π⋅14 400⋅(75−40)=504 000πV_2 = \pi \cdot 14\,400 \cdot (75 - 40) = 504\,000\pi см3^3.
Ответ: а) ≈23,7\approx 23{,}7 м3^3; б) 58 500π58\,500\pi или 504 000π504\,000\pi см3^3
ЕГЭ, задание 3Пример 3
Объём шара равен 288π288\pi. Найдите площадь его поверхности, делённую на π\pi.
  1. 43πR3=288π\dfrac43 \pi R^3 = 288\pi, R3=216R^3 = 216, R=6R = 6.
  2. S=4π⋅36=144πS = 4\pi \cdot 36 = 144\pi, ответ 144144.
Ответ: 144
ЕГЭ, задание 3Пример 4
Радиусы трёх шаров равны 66, 88 и 1010. Найдите радиус шара, объём которого равен сумме их объёмов.
  1. 43πR3=43π(63+83+103)\dfrac43\pi R^3 = \dfrac43\pi(6^3 + 8^3 + 10^3), R3=216+512+1000=1728R^3 = 216 + 512 + 1000 = 1728.
  2. R=12R = 12.
Ответ: 12
ЕГЭ, задание 3Пример 5
Цилиндр описан около шара. Объём цилиндра равен 3333. Найдите объём шара.
  1. У описанного цилиндра радиус RR и высота 2R2R: Vцил=2πR3V_{\text{цил}} = 2\pi R^3.
  2. Vшара=43πR3=23Vцил=22V_{\text{шара}} = \dfrac43 \pi R^3 = \dfrac23 V_{\text{цил}} = 22 — теорема Архимеда.
Ответ: 22
Главное
  • Vшара=43πR3V_{\text{шара}} = \dfrac43\pi R^3, Sсферы=4πR2S_{\text{сферы}} = 4\pi R^2, V=13SRV = \dfrac13 SR.
  • Сегмент πh2(R−h3)\pi h^2\left(R - \dfrac h3\right), сектор 23πR2h\dfrac23\pi R^2h, слой — разность сегментов.
  • Шар занимает 23\dfrac23 описанного цилиндра.
  • Радиус в kk раз больше: площадь в k2k^2, объём в k3k^3 раз больше.

Все уроки станции «Объёмы тел»

  1. Объём параллелепипеда, призмы и цилиндра
  2. Объём пирамиды и конуса
  3. Объём шара и площадь сферы